Question

已知平行四邊形ABCD中對(duì)角線AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E．
求證：四邊形AECF是菱形．
證明：∵EF是AC的垂直平分線（已知）
∴四邊形AECF是菱形（對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形）．
老師說小明的解答不正確
（1）能找出小明錯(cuò)誤的原因嗎？請(qǐng)你指出來．
（2）請(qǐng)你給出本題的證明過程．

Answer 1

分析：（1）EF垂直平分AC，但AC并不平分EF，需要通過證明得出；
（2）ABCD是平行四邊形，可得∠FAC=∠ECA，則可證得△AOF≌△COE，故EO=FO，又因?yàn)镋F垂直平分AC，從而根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形來得到所求的結(jié)論．

解答：解：（1）小明錯(cuò)在AC和EF并不是互相平分的，EF垂直平分AC，但AC并不平分EF，需要通過證明得出．
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴∠FAC=∠ECA
在△AOF與△COE中

∠FAC=∠ECA OA=OC ∠AOF=∠COE

∴△AOF≌△COE
∴EO=FO
∴四邊形AECF是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)．菱形的判別方法是說明一個(gè)四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義；②四邊相等；③對(duì)角線互相垂直平分．具體選擇哪種方法需要根據(jù)已知條件來確定．