Question

（2012•門頭溝區(qū)一模）已知：關(guān)于x的一元二次方程x²-（1+2k）x+k²-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）當(dāng)k為負(fù)整數(shù)時(shí)，拋物線y=x²-（1+2k）x+k²-2與x軸的交點(diǎn)是整數(shù)點(diǎn)，求拋物線的解析式；
（3）若（2）中的拋物線與y軸交于點(diǎn)A，過A作x軸的平行線與拋物線交于點(diǎn)B，連接OB，將拋物線向上平移n個(gè)單位，使平移后得到的拋物線的頂點(diǎn)落在△OAB的內(nèi)部（不包括△OAB的邊界），求n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求出根的判別式，即可求出k的取值范圍；
（2）根據(jù)（1）中求出的k的取值范圍，分別討論k=-2，k=-1時(shí)的情況，求出拋物線的解析式；
（3）由題意得，A（0，2），B（-3，2），設(shè)OB的解析式為y=mx+2，

解答：解：（1）由題意得，（1+2k）²-4（k²-2）≥0，
解得，k≥-

9

4

K的取值范圍是k≥-

9

4

．

（2）k為負(fù)整數(shù)，k=-2，-1．
當(dāng)k=-2時(shí)，y=x²+3x+2與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是（-1，0）（-2，0）是整數(shù)點(diǎn)，符合題意，
當(dāng)k=-1時(shí)，y=x²+x-1與x軸的交點(diǎn)不是整數(shù)點(diǎn)，不符合題意，
拋物線的解析式是y=x²+3x+2．

（3）由題意得，A（0，2），B（-3，2）
設(shè)OB的解析式為y=mx+2，解得m=-

2

3

OB的解析式為y=-

2

3

x，y=x²+3x+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-

3

2

，-

1

4

）
OB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（-

3

2

，1），
直線AB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-

3

2

，2），
由圖象可知，n的取值范圍是

5

4

＜n＜

9

4

，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象平移的知識(shí)，此題數(shù)形結(jié)合比較方便．