Question

如圖A、B兩個村子在河CD的同側，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，現(xiàn)在要在河邊CD上建一水廠，向A、B兩村送自來水，鋪設管道費用為每千米2000元，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設管道的費用最省，并求出其費用．

Answer 1

【答案】分析：作點A關于河CD的對稱點A′，當水廠位置O在線段AA′上時，鋪設管道的費用最�。�
解答：解：作點A關于河CD的對稱點A′，連接A′B，交CD與點O，則點O即為水廠位置，此時鋪設的管道長度為OA+OB．
∵點A與點A′關于CD對稱，
∴OA′=OA，A′C=AC=1，
∴OA+OB=OA′+OB=A′B．
過點A′作A′E⊥BE于E，則∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4，
∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米），
∴2000×5=10000（元）．
答：鋪設管道的最省費用為10000元．
點評：要使鋪設管道的費用最省，由于鋪設管道每千米的費用一定，為2000元，即轉化為求鋪設管道的長度最短的值．運用軸對稱的性質，將點A轉化到點A′，將求折線問題轉化為求線段問題，其說明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊．