Question

（1）如圖（1），BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線且相交于點D，請猜想∠A與∠BDC之間的數(shù)量關系，并說明理由．
（2）如圖（2），BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分線且相交于點D．請猜想∠A與∠BDC之間的數(shù)量關系，并說明理由．
（3）如圖（3），BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分線且相交于點D，請猜想∠A與∠BDC之間的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=

1

2

∠ACB，再根據(jù)三角形內角和定理得∠D=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB），然后把∠ABC+∠ACB=180°-∠A代入即可得到∠BDC=90°+

1

2

∠A；
（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC=

1

2

∠EBC，∠DCB=

1

2

∠FCB，利用鄰補角的定義有∠DBC=

1

2

（180°-∠ABC），∠DCB=

1

2

（180°-∠ACB），則∠D=180°-（∠DBC+∠DCB），即∠D=180°-

1

2

（360°-∠ABC-∠ACB），然后把∠ABC+∠ACB=180°-∠A代入整理得到∠BDC=90°-

1

2

∠A；
（3）根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCE=

1

2

∠ACE，根據(jù)三角形外角性質得∠DCE=∠DBC+∠D，所以∠D=

1

2

∠ACE-

1

2

∠ABC=

1

2

（∠ACE-∠ABC）=

1

2

∠A．

解答：解：（1）∠BDC=90°+

1

2

∠A．理由如下：
∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=

1

2

∠ACB，
∵∠D=180°-（∠DBC+∠DCB），即∠D=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB），
而∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠D=180°-

1

2

（180°-∠A），
即∠BDC=90°+

1

2

∠A；

（2））∠BDC=90°-

1

2

∠A．理由如下：
∵BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分線，
∴∠DBC=

1

2

∠EBC，∠DCB=

1

2

∠FCB，
∴∠DBC=

1

2

（180°-∠ABC），∠DCB=

1

2

（180°-∠ACB），
∴∠D=180°-（∠DBC+∠DCB），即∠D=180°-

1

2

（360°-∠ABC-∠ACB），
而∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠D=180°-

1

2

（360°-180°+∠A），
即∠BDC=90°-

1

2

∠A；

（3）∠BDC=

1

2

∠A．理由如下：
∵BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分線，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCE=

1

2

∠ACE，
∵∠DCE=∠DBC+∠D，
∴∠D=

1

2

∠ACE-

1

2

∠ABC=

1

2

（∠ACE-∠ABC）=

1

2

∠A．

點評：本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和為180°．也考查了三角形外角性質以及角平分線的定義．