Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為軸上點(diǎn)，將線段繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，過(guò)點(diǎn)作直線軸于，過(guò)點(diǎn)作直線于．

（1）當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求直線的函數(shù)表達(dá)式．

（2）當(dāng)時(shí)，求的面積．

（3）在直線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，試用的代數(shù)式表示點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）存在，，，，

【解析】

（1）證明Rt△APO≌Rt△PED，得到EDPO，DO=OP+PD=OP+AO=3，求出點(diǎn)E(，)，P(，0)，將點(diǎn)代入解析式即可求解；

（2）由（1）的全等可得到PD=3，DE=5，所以S△APE3×53×3=3；

（3）假設(shè)在直線l上存在點(diǎn)G，使得∠APO=∠PFD+∠PGD，由旋轉(zhuǎn)可知△APO≌△PED，得到AP=PE，AO=PD=3，PO=ED=t；由AODF是矩形，得到DF=AO=3=PD．

①當(dāng)P點(diǎn)在x軸負(fù)半軸，G點(diǎn)在x軸下方時(shí)，△GPE∽△GFP，得到，進(jìn)而GP2=GEGF，得到G(3+t，)；由對(duì)稱(chēng)性可得當(dāng)P點(diǎn)在x軸負(fù)半軸，G點(diǎn)在x軸上方時(shí)G的坐標(biāo)；

②當(dāng)P在x軸正半軸，G點(diǎn)在x軸下方時(shí)，△PFG∽△EFP，則有，得到G(3+t，)；由對(duì)稱(chēng)性可得當(dāng)P在x軸正半軸，G點(diǎn)在x軸上方時(shí)G的坐標(biāo)．

（1）∵線段AP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PE，

∴AP=PE，∠APE=90°．

∵∠APO+∠EPD=∠APO+∠OAP=90°，

∴∠EPD=∠OAP．

∵∠EDP=∠POA=90°，

∴Rt△APO≌Rt△PED(AAS)

∴OP=ED，AO=PD．

∵OA=3，點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，

∴EDPO，

∴DO=OP+PD=OP+AO=3，

∴E(，)，P(，0)．

設(shè)直線PE的解析式為y=kx+b，

∴，

∴，

∴y；

（2）∵Rt△APO≌Rt△PED，

∴OP=ED，AO=PD．

∵OA=3，OP=5，

∴PD=3，DE=5，

∴S△FPE3×53×3=3；

（3）假設(shè)在直線l上存在點(diǎn)G，使得∠APO=∠PFD+∠PGD，

由旋轉(zhuǎn)可知△APO≌△PED，

∴AP=PE，AO=PD=3，PO=ED=t，∠APO=∠PED；

∵∠AOD=∠ODF=∠AFD=90°，

∴四邊形AODF是矩形，

∴DF=AO=3，

∴PD=DF=3．

①當(dāng)P點(diǎn)在x軸負(fù)半軸，G點(diǎn)在x軸下方時(shí)．

∵∠APO=∠PFD+∠PGD，∠APO=∠PED，

∴∠PED=∠PFD+∠PGD．

∵∠PED=∠GPE+∠PGD，

∴∠GPE=∠PFD．

∵∠PGE=∠PGE，

∴△GPE∽△GFP，

∴，

∴GP2=GEGF．

設(shè)G(m，y)．

∵PD=3，

∴D(3+t，0)，

∴m=3+t，

∴GE=t-y，GF=3-y，

∴，解得：y=，

∴DG，

∴G(3+t，)；

由對(duì)稱(chēng)性可知：當(dāng)P在x軸負(fù)半軸，G點(diǎn)在x軸上方時(shí)，G(3+t，)；

②當(dāng)P在x軸正半軸，G點(diǎn)在x軸下方時(shí)．

∵∠APO=∠PFD+∠PGD，

∠PED=∠APO，

∴∠FPE=∠PGF，

∴△PFG∽△EFP，

∴，

∵△APO≌△PED，

∴OP=ED，AO=PD，

∴E(t+3，t)，P(t，0)，F(t+3，3)，

∴，

∴FG，

∴G(3+t，)；

由對(duì)稱(chēng)性可知：當(dāng)P在x軸正半軸，G點(diǎn)在x軸上方時(shí)，G(3+t，)；

綜上所述：G(3+t，)或G(3+t，)或G(3+t，)或G(3+t，)．