Question

【題目】如圖，三角形中，，是上的一點，連接平分交的外角的平分線于．

（1）求證：

（2）若，求的度數．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）20°

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質和角平分線的性質定理∠ABC=∠FCE，同位角相等兩直線平行，可證得CF//AB．

（2）根據CF是∠ACE的平分線，DF是∠ADC平分線，可得∠ACE=2∠FCE=∠ADC+∠DAC

∠ADC=2∠FDC；所以2∠FCE =2∠FDC+∠DAC，根據三角形任一外角等于不相鄰兩個內角和，所以∠DFC=∠FCE-∠FDC，可推出2∠DFC=2∠FCE-2∠FDC=∠DAC=40°，就可求出∠DFC度數．

（1）∵AC=BC，

∴∠ABC=∠CAB ，

∴∠ACE=∠ABC+∠CAB=2∠ABC

∵CF是∠ACE的平分線，

∴∠ACE=2∠FCE

∴2∠ABC=2∠FCE，

∴∠ABC=∠FCE，

∴CF//AB

（2）∵CF是∠ACE的平分線，

∴∠ACE=2∠FCE=∠ADC+∠DAC

∵DF平分∠ADC，

∴∠ADC=2∠FDC；

∴2∠FCE=∠ADC+∠DAC=2∠FDC+∠DAC，

∴2∠FCE-2∠FDC=∠DAC

∵∠DFC=∠FCE-∠FDC

∴2∠DFC=2∠FCE-2∠FDC=∠DAC=40°

∴∠DFC=20°

故答案為：20°