Question

【題目】如圖，D是△ABC外接圓上的點，且B，D位于AC的兩側，DE⊥AB，垂足為E，DE的延長線交此圓于點F．BG⊥AD，垂足為G，BG交DE于點H，DC，FB的延長線交于點P，且PC=PB．

（1）求證：∠BAD=∠PCB；

（2）求證：BG∥CD；

（3）設△ABC外接圓的圓心為O，若AB=DH，∠COD=23°，求∠P的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）97°

【解析】

（1）根據(jù)鄰補角定義和圓內(nèi)接四邊形對角互補、等邊對等角即可證出結論.

（2）根據(jù)等邊對等角得：∠PCB=∠PBC，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得：∠BAD+∠BCD=180°，從而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根據(jù)平行線的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直徑，從而得：∠ADC=∠AGB=90°，根據(jù)同位角相等可得結論；

（3）先證明四邊形BCDH是平行四邊形，得BC=DH，根據(jù)特殊的三角函數(shù)值得：∠ACB=60°，最后由PC=PB，得出∠P=180°﹣2×（）°=97°．

（1）證明：如圖1，

∵PC=PB，

∴∠PCB=∠PBC，

∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，

∴∠BAD+∠BCD=180°，

∵∠BCD+∠PCB=180°，

∴∠BAD=∠PCB；

（2）證明：由（1）得∠BAD=∠PCB，

∵∠BAD=∠BFD，

∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，

∴BC∥DF，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴∠ABC=90°，

∴AC是⊙O的直徑，

∵∠ABC=90°，

∴∠ADC=90°，

∵BG⊥AD，

∴∠AGB=90°，

∴∠ADC=∠AGB，

∴BG∥CD；

（3）解：由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，

∴四邊形BCDH是平行四邊形，

∴BC=DH，

在Rt△ABC中，

∵AB= DH，

∴tan∠ACB==，

∴∠ACB=60°，

連接OD，

∵∠COD=23°，OD=OC，

∴∠OCD=（180°﹣23°）=（）°，

∴∠PCB=180°﹣∠ACB﹣∠OCD=（）°，

∵PC=PB，

∴∠P=180°﹣2×（）°=97°．