Question

如圖，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始在線段AC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C移動(dòng)．當(dāng)一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)Q，P移動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）設(shè)△APQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△ABC相似？
（3）在P、Q的運(yùn)動(dòng)過程中，△APQ能否構(gòu)成等腰三角形？如能求出t，如不能，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知條件求出AB的長(zhǎng)，再過點(diǎn)Q作QH⊥AC，交AC與點(diǎn)H，的長(zhǎng)△QHA∽△BCA，求出=，即可求出QH的值，最后求S_△APQ的值；
（2）先分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，△APQ∽△ABC，求出t的值和當(dāng)∠PQA=90°時(shí)，△APQ∽△ABC，求出t的值，經(jīng)檢驗(yàn)它們都符合題意即可；
（3）此題分三種情況進(jìn)行討論；①當(dāng)AP=AQ時(shí)，得出t的值；②當(dāng)AQ=QP時(shí)，先過Q作QH⊥AC，得出△QHA∽△BCA，即可求出=，得出AH的值，最后求出t的值；③當(dāng)AP=QP時(shí)，先過P作QM⊥AB，得出△APM∽△BCA，求出=，得出AM的值，即可求出t的值；
解答：解：（1）∵BC=8，AC=6，得AB=10，
∴AP=t，CP=6-t，BQ=2t，AQ=10-2t，
過點(diǎn)Q作QH⊥AC，交AC與點(diǎn)H，
∴△QHA∽△BCA，
∴=，
∴=，
∴QH=8-t，
∴S_△APQ=AP•QH=t（8-t）=4t-t²；

（2）當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，△APQ∽△ABC，
=，
∴=，
∴t=；
當(dāng)∠PQA=90°時(shí)，△APQ∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴t=，
當(dāng)t為或時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都符合題意，此時(shí)△AQP∽△ABC相似；

（3）當(dāng)AP=AQ時(shí)，t=10-2t，解得t=；
當(dāng)AQ=QP時(shí)，過Q作QH⊥AC，交AC于H點(diǎn)，
∴△QHA∽△BCA，
∴=，
∴=，
∴AH=6-1.2t，
∴t=2（6-1.2t），
∴t=；
當(dāng)AP=QP時(shí)，過P作PM⊥AB，交AB于M點(diǎn)，
∴△APM∽△BCA，
∴=，
∴=，
∴AM=t，
∴10-2t=2×t，
解得：t=；
當(dāng)t=或或時(shí)，△APQ能構(gòu)成等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；此題運(yùn)用函數(shù)的思想，列出函數(shù)表達(dá)式，再利用函數(shù)列出表達(dá)式代入數(shù)值進(jìn)行求解，關(guān)鍵是第三步分三種情況進(jìn)行討論，不要漏掉．