Question

如圖，已知拋物線與x軸交于點A（-2，0），B（4，0），與y軸交于點C（0，8）．
（1）求拋物線的解析式及其頂點D的坐標；
（2）設直線CD交x軸于點E，過點B作x軸的垂線，交直線CD于點F，在坐標平面內找一點G，使以點G、F、C為頂點的三角形與△COE相似，請直接寫出符合要求的，并在第一象限的點G的坐標；
（3）在線段OB的垂直平分線上是否存在點P，使得點P到直線CD的距離等于點P到原點O的距離？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；  
（4）將拋物線沿其對稱軸平移，使拋物線與線段EF總有公共點．試探究：拋物線向上最多可平移多少個單位長度？

Answer 1

解：（1）設拋物線解析式為y=a（x+2）（x-4），
把C（0，8）代入得a=-1，
∴y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，頂點D（1，9），
答：拋物線的解析式是：y=-x²+2x+8，頂點D的坐標是（1，9）．

（2）G（4，8）或（8，8）或（4，4）．

（3）假設滿足條件的點P存在，依題意設P（2，t），
設直線CD的解析式是y=kx+b，
把C（0，8），D（1，9）代入得：，
解得：，
∴直線CD的解析式為：y=x+8，
它與x軸的夾角為45°，
設OB的中垂線交CD于H，則H（2，10）．
則PH=|10-t|，點P到CD的距離為．
又．∴．
平方并整理得：t²+20t-92=0，，
∴存在滿足條件的點P，P的坐標為，
∴存在，點P的坐標是（2，-10+8），（2，-10-8），

（4）解：直線CD的解析式為：y=x+8，
當y=0時，x=-8，
當x=4時，y=12，
∴E（-8，0），F（4，12）．
拋物線向上平移，可設解析式為y=-x²+2x+8+m（m＞0）．
當x=-8時，y=-72+m，
當x=4時，y=m，
∴-72+m≤0或m≤12，
∴0＜m≤72．
∴向上最多可平移72個單位長，
答：拋物線向上最多可平移72個單位長度．
分析：（1）設拋物線解析式為y=a（x+2）（x-4），把C的坐標代入即可求出a的值，再化成頂點式即可；
（2）求出C的坐標，過C作CG∥x軸交BF于G，根據C的坐標求出G坐標；當是（4，4）兩三角形全等即相似，當是（8，8）時符合相似三角形的判定，即兩三角形相似綜合上述有3個點．
（3）設直線CD的解析式是y=kx+b，代入坐標后求出解析式，設P（2，t），根據距離相等列出方程求出即可；
（4）拋物線向上平移，可設解析式為y=-x²+2x+8+m，把x=4或-8代入即可列出不等式，即可求出答案．
點評：本題主要考查了二次函數圖象與系數的特征，用待定系數法求一次函數的解析式，解一元二次方程和一元一次不等式，一次函數的點的坐標特征等知識點，解此題的關鍵是綜合運用性質進行計算，此題綜合性強，有一定的難度．