Question

20、在一間屋子里有100盞電燈排成一橫行，依從左到右的順序編上號(hào)碼1，2，3，…，100．每盞電燈上有一根拉線(xiàn)開(kāi)關(guān)，最初所有電燈全是關(guān)的，現(xiàn)有100個(gè)學(xué)生在門(mén)外排著隊(duì)，第一個(gè)學(xué)生走進(jìn)屋來(lái)，把編號(hào)是1的倍數(shù)的電燈的開(kāi)關(guān)拉一下；接著第二個(gè)學(xué)生走進(jìn)屋來(lái)，把凡是編號(hào)是2的倍數(shù)的電燈開(kāi)關(guān)拉了一下；…；最后第100個(gè)學(xué)生走進(jìn)屋來(lái)，把編號(hào)是100的倍數(shù)的電燈的開(kāi)關(guān)拉了一下，這樣做過(guò)以后，問(wèn)哪些電燈是亮的？

Answer 1

分析：若（a₁，a₂）=1，則稱(chēng)a₁與a₂互質(zhì)．若（a₁，，a_k）=1，則稱(chēng)a₁，，a_k互質(zhì)，
值得注意的是居個(gè)數(shù)互質(zhì)，不一定兩兩互質(zhì)，如（6，9，10）=1，而（6，9）=3，
本題的一個(gè)重要條件是最初時(shí)燈都是關(guān)著的，然后對(duì)每個(gè)編號(hào)分解質(zhì)因數(shù)．

解答：解：由于最初所有電燈是關(guān)著的，所以只有哪些拉了奇數(shù)次開(kāi)關(guān)的電燈才是亮的，而每一盞電燈的拉線(xiàn)開(kāi)關(guān)被拉了多少次取決于這盞燈的編號(hào)的數(shù)字有多少個(gè)不同的正約數(shù)，最后亮著的燈的編號(hào)只有為完全平方數(shù)．
所以，只有編號(hào)為1，4，9，16，25，36，49，64，81，100的電燈最后是亮著的．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了數(shù)的奇偶性，得出最后亮著的燈的編號(hào)只有為完全平方數(shù)，從而解決問(wèn)題．