Question

（2004•湖州）已知如圖，A是⊙O的直徑CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，BC=2AB，割線(xiàn)AF交⊙O于E、F，D是OB的中點(diǎn)，且DE⊥AF，連接BE、DF．
（1）試判斷BE與DF是否平行？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）求AE：EC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）一般判斷的結(jié)論大多數(shù)是肯定的，但這個(gè)是否定的．如圖過(guò)O作OM⊥EF，垂足為M，則EM=MF，容易知道DE∥OM，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例可以求出AE：AF=3：5，不等于AB：AD，所以BE與DF不平行；
（2）要求AE：EC，不能直接求出．由于D是AC的中點(diǎn)，取AE的中點(diǎn)，利用中位線(xiàn)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，連接DP．根據(jù)已知條件和平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例可以證明△EDP是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出AE：EC．
解答：解：（1）BE與DF不平行（1分）
理由：過(guò)O作OM⊥EF，垂足為M，則EM=MF
∵DE⊥AE，∴DE∥OM
∴AE：AM=AD：AO=3：4                         （1分）
∴AE：AF=3：5
∵AB：AD=2：3
∴AE：AF≠AB：AD
∴BE與DF不平行；

（2）取AE的中點(diǎn)P，連接DP交BE于Q
∵D是AC的中點(diǎn)，P是AE的中點(diǎn)
∴DP∥CE
∵BE⊥EC，∴BE⊥DQ
由DQ∥CE，得，又
∴DP=2DQ即DQ=PQ，又BE⊥DP
∴BE是DP的中垂線(xiàn)
∴EP=ED                                       （2分）
∵∠AED=90°，
∴△EDP是等腰直角三角形
∴DP=EP
∴AE：EC=2EP：2DP=1：．（1分）
點(diǎn)評(píng)：此題比較難，主要利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例和中位線(xiàn)定理解題，也結(jié)合了等腰直角三角形的性質(zhì)來(lái)求出比值．