Question

設(shè)a、b是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]．對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)m≤x≤n時(shí)，有m≤y≤n，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”．
（1）反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間[1，2013]上的“閉函數(shù)”嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由；
（2）若一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式；
（3）若二次函數(shù)y=x²-x-是閉區(qū)間[a，b]上的“閉函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

解：（1）反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間[1，2013]上的“閉函數(shù)”．理由如下：
反比例函數(shù)y=在第一象限，y隨x的增大而減小，
當(dāng)x=1時(shí)，y=2013；
當(dāng)x=2013時(shí)，y=1，
所以，當(dāng)1≤x≤2013時(shí)，有1≤y≤2013，符合閉函數(shù)的定義，故
反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間[1，2013]上的“閉函數(shù)”；

（2）分兩種情況：k＞0或k＜0．
①當(dāng)k＞0時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象是y隨x的增大而增大，故根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知，
，
解得．
∴此函數(shù)的解析式是y=x；
②當(dāng)k＜0時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象是y隨x的增大而減小，故根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知，
，
解得．
∴此函數(shù)的解析式是y=-x+m+n；

（3）∵y=x²-x-=（x-2）²-，
∴該二次函數(shù)的圖象開口方向向上，最小值是-，且當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減��；當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大；
①當(dāng)b≤2時(shí)，此二次函數(shù)y隨x的增大而減小，則根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知，，
解得，（不合題意，舍去）或；
②當(dāng)a＜2＜b時(shí)，此時(shí)二次函數(shù)y=x²-x-的最小值是-=a，根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知，b=a²-a-、b=b²-b-；
a）當(dāng)b=a²-a-時(shí)，由于b=（-）²-×（-）-=＜2，不合題意，舍去；
b）當(dāng)b=b²-b-時(shí)，解得b=，
由于b＞2，
所以b=；
③當(dāng)a≥2時(shí)，此二次函數(shù)y隨x的增大而增大，則根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知，，
解得，，
∵＜0，
∴舍去．
綜上所述，或．
分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行判斷；
（2）根據(jù)新定義運(yùn)算法則列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組或，通過(guò)解該方程組即可求得系數(shù)k、b的值；
（3）y=x²-x-=（x-2）²-，所以該二次函數(shù)的圖象開口方向向上，最小值是-，且當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減��；當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大；根據(jù)新定義運(yùn)算法則列出關(guān)于系數(shù)a、b的方程組或，通過(guò)解方程組即可求得a、b的值．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性和增減性，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是弄清楚“閉函數(shù)”的定義．解題時(shí)，也要注意“分類討論”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．