Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B（0，6），動點(diǎn)C在以半徑為3的⊙O上，連接OC，過O點(diǎn)作OD⊥OC，OD與⊙O相交于點(diǎn)D（其中點(diǎn)C、O、D按逆時(shí)針方向排列），連接AB．
（1）當(dāng)OC∥AB時(shí)，∠BOC的度數(shù)為；
（2）連接AC，BC，當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動到什么位置時(shí)，△ABC的面積最大？并求出△ABC的面積的最大值；
（3）連接AD，當(dāng)OC∥AD時(shí)，①求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；②直線BC是否為⊙O的切線？請作出判斷，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）45°或135°
（2）解：∵△OAB為等腰直角三角形，

∴AB= OA=6 ，

∴當(dāng)點(diǎn)C到AB的距離最大時(shí)，△ABC的面積最大，

過O點(diǎn)作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，如圖，此時(shí)C點(diǎn)到AB的距離的最大值為CE的長，

∴OE= AB=3 ，

∴CE=OC+OE=3+3 ，

△ABC的面積= CEAB= ×（3+3 ）×6 =9 +18．

∴當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動到第三象限的角平分線與圓的交點(diǎn)位置時(shí)，

△ABC的面積最大，最大值為9 +18

（3）解：①如圖，過C點(diǎn)作CF⊥x軸于F，

∵OC∥AD，

∴∠COF=∠DAO，

又∵∠ADO=∠CFO=90°

∴Rt△OCF∽Rt△AOD，

∴ = ，即 = ，解得CF= ，

在Rt△OCF中，OF= = ，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ ， ）；

故所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣ ， ），

當(dāng)C點(diǎn)在第一象限時(shí)，同理可得C點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ），

綜上可得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣ ， ）或（ ， ）．

② 當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ ， ）或（ ， ）時(shí)，直線BC是⊙O的切線．理由如下：

在Rt△OCF中，OC=3，CF= ，

∴∠COF=30°，

∴∠OAD=30°，

∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，

∵在△BOC和△AOD中

，

∴△BOC≌△AOD（SAS），

∴∠BCO=∠ADO=90°，

∴OC⊥BC，

∴直線BC為⊙O的切線；

當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ ， ）或（ ， ）時(shí)，顯然直線BC與⊙O相切．

綜上可得：C點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）或（﹣ ， ）時(shí)，顯然直線BC與⊙O相切．

【解析】解：（1）∵點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B（0，6）， ∴OA=OB=6，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵OC∥AB，
∴當(dāng)C點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，∠BOC=∠OBA=45°；
當(dāng)C點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，∠BOC=90°+∠OBA=135°；
（1）根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)易得△OAB為等腰直角三角形，則∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以當(dāng)C點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，有∠BOC=∠OBA=45°；當(dāng)C點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，有∠BOC=180°﹣∠OBA=135°；（2）由△OAB為等腰直角三角形得AB= OA=6 ，根據(jù)三角形面積公式得到當(dāng)點(diǎn)C到AB的距離最大時(shí)，△ABC的面積最大，過O點(diǎn)作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，此時(shí)C點(diǎn)到AB的距離的最大值為CE的長，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出OE，然后計(jì)算△ABC的面積；（3）①過C點(diǎn)作CF⊥x軸于F，易證Rt△OCF∽Rt△AOD，則 = ，即 = ，解得CF= ，再利用勾股定理計(jì)算出OF= ，則可得到C點(diǎn)坐標(biāo)；②由于OC=3，CF= ，所以∠COF=30°，則可得到BOC=60°，∠AOD=60°，然后根據(jù)“SAS”判斷△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADO=90°，再根據(jù)切線的判定定理可確定直線BC為⊙O的切線．