Question

【題目】等腰中，，作的外接圓⊙O.

（1）如圖1，點為上一點（不與A、B重合），連接AD、CD、AO，記與的交點為.

①設，若，請用含與的式子表示；

②當時，若，求的長；

（2）如圖2，點為上一點（不與B、C重合），當BC=AB，AP=8時，設，求為何值時，有最大值？并請直接寫出此時⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）PB=5時，S有最大值，此時⊙O的半徑是.

【解析】

（1）①連接BO、CO，利用SSS可證明△ABO≌△ACO，可得∠BAO=∠CAO=y，利用等腰三角形的性質及三角形內角和定理可用y表示出∠ABC，由圓周角定理可得∠DCB=∠DAB=x，根據即可得答案；

②過點作于點，根據垂徑定理可得AF的長，利用勾股定理可求出OF的長，由（1）可得，由AB⊥CD可得n=90°，即可證明y=x，根據AB⊥CD，OF⊥AC可證明△AED∽△AFO，設DE=a，根據相似三角形的性質可，由∠D=∠B，∠AED=∠CEB=90°可證明△AED∽△CEB，設，根據相似三角形的性質可得，根據線段的和差關系和勾股定理列方程組可求出a、b的值，根據△AED∽△AFO即可求出AD的值；

（2）延長到，使得，過點B作BD⊥AP于D，BE⊥CP，交CP延長線于E，連接OA，作OF⊥AB于F，根據BC=AB可得三角形ABC是等邊三角形，根據圓周角定理可得∠APM=60°，即可證明△APM是等邊三角形，利用角的和差關系可得∠BAP=∠CAM，利用SAS可證明△BAP≌△CPM，可得BP=CM，即可得出PB+PC=AP，設，則，利用∠APB和∠BPE的正弦可用x表示出BD、BE的長，根據可得S與x的關系式，根據二次函數的性質即可求出S取最大值時x的值，利用∠BPA的余弦及勾股定理可求出AB的長，根據等邊三角形的性質及垂徑定理求出OA的長即可得答案.

（1）①連接BO，CO，

∵，且為公共邊，

∴，

∴，

∴，

∴

∵，

∵，

∴

∴.

②過點作于點，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴△AED∽△AFO，

∴=，即，

設，則

∵，

∴△AED∽△CEB，

∴，即

設，則，

∴

解得：或，

∵a>0，b>0，

∴，即DE=，

∵△AED∽△AFO，

∴，

∴AD==3=.

（2）延長到，使得，過點B作BD⊥AP于D，BE⊥CP，交CP延長線于E，連接OA，作OF⊥AB于F，

∵BC=AB，AB=AC，

∴是等邊三角形，

∴，

∴，

∴是等邊三角形，

∴，

∵∠BAP+∠PAC=∠CAM+∠PAC=60°，

∴

在△BAP和△CAM中，，

∴，

∴，

∴

設，則，

∵∠APB=∠ACB=60°，∠APM=60°，

∴∠BPE=60°，

∴BE=PB·sin60°=，PD=PB·sin60°=，

∵，

∴S=PC·BE+×AP·BD=，

∴當時，即PB=5時，S有最大值，

∴BD==，PD=PB·cos60°=，

∴AD=AP-PD=，

∴AB==7，

∵△ABC是等邊三角形，O為△ABC的外接圓圓心，

∴∠OAF=30°，AF=AB=，

∴OA==.

∴此時的半徑是.