設f:N→N是一個正整數(shù)集N的一一映射.
(1)證明存在一個由正整數(shù)a,a+d,a+2d組成的等差數(shù)列,這里d>0,使f(a)<f(a+d)<f(a+2d).
(2)一定存在一個等差數(shù)列a,a+d,…,a+2003d,這里d>0,使f(a)<f(a+d)<…<f(a+2003d)嗎?
分析:(1)可以采用反證法證明,假設不存在滿足要求的等差數(shù)列,由于1=f(a)<f(a+2i),其中i是非負整數(shù),則必有f(a+2i)>f(a+2i+1).但f(a+1)是一個確定的正整數(shù),且f:N→N是一個正整數(shù)集N的一一映射,從而小于f(a+1)的正整數(shù)有有限個即可得到矛盾,即可證明;
(2)構造映射:1→1,||2→2,||4→3,3→4,||8→5,7→6,6→7,5→8,||16→9,15→10,14→11,13→12,12→13,11→14,10→15,9→16,||以象f滿足2n-1<f≤2n分成若干檔,其中n是非負整數(shù).由抽屜原理知,必定在后三檔里存在某一檔至少被選擇了兩個.即可證明不一定存在滿足要求的等差數(shù)列.
解答:證明:(1)設f(a)=1,考慮a+1,a+2,a+4,a+8,a+16,a+32,,顯然其中任意相鄰兩項與a都構成等差數(shù)列,在這些等差數(shù)列中,必存在一個滿足要求.這是因為:
假設不存在滿足要求的等差數(shù)列.由于1=f(a)<f(a+2i),其中i是非負整數(shù),則必有f(a+2i)>f(a+2i+1).
即f(a+1)>f(a+2)>f(a+4)>f(a+8)>f(a+16)>f(a+32)>.但f(a+1)是一個確定的正整數(shù),且f:N→N是一個正整數(shù)集N的一一映射,從而小于f(a+1)的正整數(shù)有有限個,故在f(a+2j)中必存在某一個f(a+2k),滿足f(a+1)>>f(a+2k-1)且f(a+2k)>f(a+1),其中j,K∈N.則f(a)<f(a+2k-1)<f(a+2k),這時公差d=2k-1的等差數(shù)列a,a+2k-1,a+2k滿足要求.矛盾!
(2)不一定存在.
構造映射:1→1,||2→2,||4→3,3→4,||8→5,7→6,6→7,5→8,||16→9,15→10,14→11,13→12,12→13,11→14,10→15,9→16,||以象f滿足2n-1<f≤2n分成若干檔,其中n是非負整數(shù).上述映射中“||”為分檔線.
設f(a+2003d)在第i檔,而第i檔的最大的象是2i-1.分析各檔里象的情況如下:

由于第i-1檔里象的個數(shù)為2i-2-2i-3=2i-3,又每檔里最多只能選擇一個,否則將出現(xiàn)f(a+id)>f(a+(i+1)d),故d>2i-4.從而前i-3檔里最多只能選擇一個.故總共最多只能選擇四個.
倘若從中選擇五個及五個以上,由抽屜原理知,必定在后三檔里存在某一檔至少被選擇了兩個.
因此題設中的映射不一定存在滿足要求的等差數(shù)列.
點評:本題主要考查了反證法,以及抽屜原理,正確構造映射是證明的關鍵.
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