Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點Ａ坐標為（2，4），直線x＝２與x軸相交于點B，連結OA，拋物線y=x²從點O沿OA方向平移，與直線x=2交于點P，頂點M到A點時停止移動．

（1）求線段OA所在直線的函數(shù)解析式；

（2）設拋物線頂點M的橫坐標為m,

  ①用m的代數(shù)式表示點P的坐標；

  ②當m為何值時，線段PB最短；

（3）當線段PB最短時，相應的拋物線上是否存在點Q，使△QMA的面積與△PMA的面積相等，若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設所在直線的函數(shù)解析式為，

∵（2，4），

∴, ,

∴所在直線的函數(shù)解析式為

（2）①∵頂點M的橫坐標為，且在線段上移動，

 ∴（0≤≤2）.                                     

∴頂點的坐標為(,).

∴拋物線函數(shù)解析式為.

∴當時，（0≤≤2）.

∴點的坐標是（2，）  -

②  ∵==， 又∵0≤≤2，

∴當時，PB最短.  

（3）當線段最短時，此時拋物線的解析式為.

假設在拋物線上存在點，使.

設點的坐標為（，）.

①當點落在直線的下方時，過作直線//，交軸于點，

∵，，

∴，∴，∴點的坐標是（0，）.

∵點的坐標是（2，3），∴直線的函數(shù)解析式為.

∵，∴點落在直線上.∴=.

解得，即點（2，3）.∴點與點重合.

∴此時拋物線上不存在點，使△與△的面積相等.

②當點落在直線的上方時，

作點關于點的對稱稱點，過作直線//，交軸于點，

∵，∴，∴、的坐標分別是（0，1），（2，5），

∴直線函數(shù)解析式為.

∵，∴點落在直線上.

∴=.

解得：，.

代入，得，.

∴此時拋物線上存在點，

使△與△的面積相等. 

綜上所述，拋物線上存在點，

 使△與△的面積相等.