Question

如圖，在正方形ABCD中，E是AB上的任意一點，F(xiàn)是邊BC延長線上的一點，EF交邊CD于點G，AE=CF．
（1）求證：點D在線段EF的垂直平分線上；
（2）如果EF交正方形的對角線BD于點P，BP=BE，求證：EP=FG．

Answer 1

分析：（1）連接DE，DF，證明△AED≌△DCF，得DE=DF，問題得證；
（2）由BP=BE，AB∥CD，可推得DP=DG，再證：△EDP≌△FDG，即可得到EP=FG．

解答：證明：（1）連接ED和DF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠A=∠DCF=90°，
在△AED和△DCF中，

AD=CD ∠A=∠DCF=90° AE=CF

，
∴△AED≌△DCF（SAS），
∴ED=DF，
∴△EDF為直角三角形，D為其頂點，EF為底邊
∴點D在線段EF的垂直平分線上；

（2）∵△EDF為直角三角形
∴∠DEP=∠DFG，
∵BP=BE，
∴∠BEF=∠BPE，
∵∠BPE=∠DPG，
∴∠BEF=∠BPE，
∴∠BEP和∠CGF同位角，
∴∠BEP=∠CGF，
∴∠BEP和∠CGF，
∠CGF=∠DGE，
∴∠BEP=∠DGE，
∴∠EPD=∠DGF，
∴∠EDP=∠GDF，
∴∠BEP=∠DGE，
∴△EDP≌△FDG，
∴EP=FG．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)、垂直平分線的判定和性質(zhì)等腰三角形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性強，難度不�。�