【題目】定義：兩邊的平方和與這兩邊乘積的差等于第三邊平方的三角形叫做“和諧三角形”.如圖1在中，若，則是“和諧三角形”.

（1）等邊三角形一定是“和諧三角形”，是______命題（填“真”或“假”）.

（2）若中，，，，，且，若是“和諧三角形”，求.

（3）如圖2，在等邊三角形的邊，上各取一點，，且，，相交于點，是的高，若是“和諧三角形”，且.

①求證：.

②連結(jié)，若，那么線段，，能否組成一個“和諧三角形”？若能，請給出證明：若不能，請說明理由.

【答案】（1）真；（2）.（3）能，證明見解析

【解析】

（1）利用“和諧三角形”的定義驗證即可；

（2）若是“和諧三角形”，分，，三種情況，分別進行討論即可；

（3）①先利用是“和諧三角形”和第（2）問的結(jié)論得出，然后再利用等邊三角形的性質(zhì)證明，則結(jié)論可證；

②先證明，得出，設(shè)出，，然后分別表示出，然后用“和諧三角形”定義驗證即可.

（1）設(shè)等邊三角形三邊分別為a,b,c

∵三角形為等邊三角形

∴a=b=c

∵

∴等邊三角形是“和諧三角形”

故答案為“真”

（2）∵，，，，

∴.

①若，則.（舍去）

②若，則，

∴，得.

由勾股定理得

∴.

③若，則，

∴，得.

由勾股定理得

∴

∵

∴（舍去）

綜上可知，是“和諧三角形”時.

（3）①∵在等邊三角形中，

∴，.

又∵是的高，是“和諧三角形”，

∴.

∴.

∴.

又∵.

∴.

∴.

∴.

②

∵，

∴.

∴

∴.

由，知，

設(shè)，，則.

∴

，

∴，

∴，

∴線段，，能組成一個和諧三角形.

練習冊系列答案
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（問題情境）

如圖，數(shù)軸上點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為8，點從點出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，同時點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動，設(shè)運動時間為秒（）.

（綜合運用）

（1）填空：

①、兩點之間的距離________，線段的中點表示的數(shù)為__________.

②用含的代數(shù)式表示：秒后，點表示的數(shù)為____________；點表示的數(shù)為___________.

③當_________時，、兩點相遇，相遇點所表示的數(shù)為__________.

（2）當為何值時，.

（3）若點為的中點，點為的中點，點在運動過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段的長.

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下面是小夏的探究過程，請補充完整．

(1)通過取點、畫圖、測量，得到了與的幾組值，如下表：

1

2

3

3.5

4

5

6

3.5

1.5

0.5

0.2

0.6

1.5

2.5

（說明：補全表格時相關(guān)數(shù)值保留一位小數(shù)）

(2)建立平面直角坐標系，描出以補全后的表中各對對應(yīng)值為坐標的點，畫出該函數(shù)的圖象；

(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當BD=BD'時，線段AD的長度約為_________.

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