Question

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y＝ax²＋bx＋c(a＞0)的圖像頂點為D，與y軸交于點C，與x軸交于點A、B，點A在原點的左側，點B的坐標為(3，0)，OB＝OC，tan∠ACO＝．

1.求這個二次函數(shù)的解析式；

2.若平行于x軸的直線與該拋物線交于點M、N，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓的半徑長度；Com]

3.如圖2，若點G(2，y)是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上的一動點，當點P運動到什么位置時，△AGP的面積最大？求此時點P的坐標和△AGP的最大面積．

 

Answer 1

 

1.由OC=OB=3，知C

連接AC，在Rt△AOC中，OA=OC×tan∠ACO=，故A

設所求二次函數(shù)的表達式為

將C代入得，解得，

∴這個二次函數(shù)的表達式為。

2.①當直線MN在x軸上方時，設所求圓的半徑為R（R>0），設M在N的左側，

∵所求圓的圓心在拋物線的對稱軸上，

∴N（R+1，R）代入中得

，

解得 （舍）

②當直線MN在x軸下方時，設所求圓的半徑為，由①可知N，代入拋物線方程可得 （舍）。

3.

解析:

1.根據(jù)已知條件，易求得C、A的坐標，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

2.根據(jù)拋物線和圓的對稱性，知圓心必在拋物線的對稱軸上，由于該圓與x軸相切，可用圓的半徑表示出M、N的坐標，將其入拋物線的解析式中，即可求出圓的半徑；（需注意的是圓心可能在x軸上方，也可能在x軸下方，需要分類討論）

3.易求得AC的長，由于AC長為定值，當P到直線AG的距離最大時，△APG的面積最大．可過P作y軸的平行線，交AG于Q；設出P點坐標，根據(jù)直線AG的解析式可求出Q點坐標，也就求出PQ的長，進而可得出關于△APG的面積與P點坐標的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)的性質可求出△APG的最大面積及P點的坐標，根據(jù)此時△APG的面積和AG的長，即可求出P到直線AC的最大距離．