Question

已知在等腰△ABC中，AD⊥BC于點D，且AD=

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BC，求△ABC底角的度數(shù)．

Answer 1

分析：作出圖形，分①點A是頂點時，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BD=CD，從而得到AD=BD=CD，再利用等邊對等角的性質(zhì)可得∠B=∠BAD，然后利用直角三角形兩銳角互余求解即可；
②點A是底角頂點時，再分AD在△ABC外部時，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠ACD=30°，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求解即可得到底角是15°，AD在△ABC內(nèi)部時，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠C=30°，然后再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求解即可．

解答：解：①如圖1，點A是頂點時，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵AD=

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BC，
∴AD=BD=CD，
在Rt△ABD中，∠B=∠BAD=

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（180°-90°）=45°；
②如圖2，點A是底角頂點，且AD在△ABC外部時，
∵AD=

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BC，AC=BC，
∴AD=

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AC，
∴∠ACD=30°，
∴∠BAC=∠ABC=

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×30°=15°；
③如圖3，點A是底角頂點，且AD在△ABC內(nèi)部時，
∵AD=

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BC，AC=BC，
∴AD=

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2

AC，
∴∠C=30°，
∴∠BAC=∠ABC=

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（180°-30°）=75°；
綜上所述，△ABC底角的度數(shù)為45°或15°或75°．

點評：本題考查了30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)，以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，難點在于要分情況討論求解．