Question

如圖，AD為⊙O的直徑，作⊙O的內接等邊三角形ABC．黃皓、李明兩位同學的作法分別是：
黃皓：1．作OD的垂直平分線，交⊙O于B，C兩點，
      2．連接AB，AC，△ABC即為所求的三角形．
李明：1．以D為圓心，OD長為半徑作圓弧，交⊙O于B，C兩點，
      2．連接AB，BC，CA，△ABC即為所求的三角形．
已知兩位同學的作法均正確，請選擇其中一種作法補全圖形，并證明△ABC是等邊三角形．
解：我選擇

黃皓

的作法．
證明：

Answer 1

分析：若選擇黃皓的作法，連接OB、OC．根據AD為⊙O的直徑，BC是半徑OD的垂直平分線，由垂徑定理可知

AB

=

AC

，

BD

=

CD

，OE=

1

2

OD=

1

2

OC，所以AB=AC．在Rt△OEC中由銳角三角函數的定義可得出cos∠EOC的值，進而可求出∠EOC的度數，進而可得出結論；
若選擇李明的作法．連接DB、DC，由作圖可知，DB=DO=DC，在⊙O中可知OB=OD=OC，故可得出△OBD和△OCD都是等邊三角形，再根據

AB

=

AB

，

AC

=

AC

可知∠ODB=∠ACB=60°，∠ABC=∠ODC=60°，故可得出結論．

解答：解：我選擇黃皓的作法．如圖1，
證明：連接OB、OC．
∵AD為⊙O的直徑，BC是半徑OD的垂直平分線，
∴

AB

=

AC

，

BD

=

CD

，OE=

1

2

OD=

1

2

OC，
∴AB=AC．
在Rt△OEC中，
∴cos∠EOC=

OE

OC

=

1

2

，
∴∠EOC=60°，
∴∠BOC=120°．
∴∠BAC=60°．
∴△ABC是等邊三角形．
我選擇李明的作法．如圖2；
證明：連接DB、DC．
由作圖可知：
DB=DO=DC，
在⊙O中，
∴OB=OD=OC，
∴△OBD和△OCD都是等邊三角形，
∴∠ODB=∠ODC=60°，
∵

AB

=

AB

，

AC

=

AC

，
∴∠ODB=∠ACB=60°，∠ABC=∠ODC=60°，
∴△ABC是等邊三角形．

點評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到垂徑定理及圓周角定理，等邊三角形的判定與性質等知識，難度適中．