Question

如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC=12cm，AD=15cm，動點Q由點B沿BC向點C移動，1秒鐘后動點P由點A沿AD向點D移動
（1）若動點P的速度比動點Q的速度大1厘米/秒，且動點Q到達C時，動點P 恰好也到達D．試求動點P、Q的速度．
（2）若動點P的速度為5厘米/秒，動點Q的速度為3厘米/秒，在運動過程中（P與A、D不重合時），AQ與BP交于K，CP與DQ交于N
①當動點Q到達BC中點時，過K作KM∥AD交AB于M，求KM的長；（如圖2）
②在這運動過程中，KN是否會與AD平行？若會，請求出此時為P點出發(fā)后幾秒？若不會，請說明理由．（如圖3）

Answer 1

分析：（1）首先設動點Q的速度為x厘米/秒，根據(jù)題意即可得方程：

12

x

=

15

x+1

+1，解此方程即可求得答案，注意分式方程需檢驗；
（2）①由動點Q到達BC中點，即可求得BQ與AP的值，又由MK∥AD∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得MK的值；
②首先設點P點出發(fā)后t秒時，KN∥AD，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理與比例的性質，即可得方程

3(t+1)

5t

=

12-3(t+1)

15-5t

’又由此方程無解，即可證得KN不會平行于AD．

解答：解：（1）設動點Q的速度為x厘米/秒，
根據(jù)題意得：

12

x

=

15

x+1

+1，
解得：x₁=2，x₂=-6（不合題意舍去）
經檢驗x=2是原方程根，
∴動點Q速度為2厘米/秒，動點P速度為3厘米/秒．

（2）①當BQ=

1

2

BC=6cm時，AP=5×（6÷3-1）=5cm，
由MK∥AD∥BC，
得

BK

KP

=

BQ

AP

=

6

5

，

MK

AP

=

BK

BP

=

6

11

，
∴MK=

30

11

cm；
②設點P點出發(fā)后t秒時，KN∥AD，
∴

QK

KA

=

BQ

AP

=

3(t+1)

5t

，

QN

ND

=

CQ

DP

=

12-3(t+1)

15-5t

，
若KN∥AD，則

3(t+1)

5t

=

12-3(t+1)

15-5t

’
解得：

t+1

t

=1此方程無解，
∴KN不會平行于AD．

點評：此題考查了平行線分線段成比例定理，分式方程的解法，以及比例的性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意比例的性質與比例變形，注意數(shù)形結合思想的應用．