Question

已知直線（＜0）分別交軸、軸于A、B兩點，線段OA上有一動點P由原點O向點A運動，速度為每秒1個單位長度，過點P作軸的垂線交直線AB于點C，設(shè)運動時間為秒．

（1）當(dāng)時，線段OA上另有一動點Q由點A向點O運動，它與點P以相同速度同時出發(fā)，當(dāng)點P到達點A時兩點同時停止運動（如圖1）．

① 直接寫出＝1秒時C、Q兩點的坐標(biāo)；

② 若以Q、C、A為頂點的三角形與△AOB相似，求的值．

（2）當(dāng)時，設(shè)以C為頂點的拋物線與直線AB的另一交點為D（如圖2），① 求CD的長；② 設(shè)△COD的OC邊上的高為，當(dāng)為何值時，的值最大？

Answer 1

（1）①C（1，2），Q（2，0）．

②由題意得：P(t，0)，C(t，－ｔ＋3)，Q(3－t，0)，

分兩種情形討論：

情形一：當(dāng)△AQC∽△AOB時，∠AQC=∠AOB＝90°，∴CQ⊥OA，

∵CP⊥OA，∴點P與點Q重合，OQ=OP，即3－t=t，∴t=1.5．

情形二：當(dāng)△ACQ∽△AOB時，∠ACQ=∠AOB＝90°，∵OＡ=OＢ＝3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴△ACQ是等腰直角三角形，∵CQ⊥OA，∴AQ=2CP，即t =2（－t ＋3），∴t=2．∴滿足條件的t的值是1.5秒或2秒．

(2) ①由題意得：C(t，－＋3)，∴以C為頂點的拋物線解析式是，

由，解得x₁=t，x₂=t；過點D作DE⊥CP于點E，則∠DEC=∠AOB＝90°，DE∥OA，∴∠EDC=∠OAB，∴△DEC∽△AOB，∴，

∵AO=4，AB=5，DE=t－（ｔ－）=．∴CD=．

②∵CD=，CD邊上的高=．∴S_△COD=．∴S_△COD為定值；

要使OC邊上的高h的值最大，只要OC最短．

因為當(dāng)OC⊥AB時OC最短，此時OC的長為，∠BCO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠COP＝90°－∠BOC＝∠OBA，又∵CP⊥OA，∴Rt△PCO∽Rt△OAB，

∴，OP=，即t=，∴當(dāng)t為秒時，h的值最大．