Question

（2012•恩施州）如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與一直線相交于A（-1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N．其頂點(diǎn)為D．
（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)M（3，m），求使MN+MD的值最小時(shí)m的值；
（3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B，E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥BD交拋物線于點(diǎn)F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由；
（4）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△APC的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短作N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對稱點(diǎn)N′，當(dāng)M（3，m）在直線DN′上時(shí)，MN+MD的值最小；
（3）需要分類討論：①當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E上方，則F（x，x+3）和②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC（或CA）延長線上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E下方，則F（x，x-1），然后利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可以求得點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（4）方法一：過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q；過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖1．設(shè)Q（x，x+1），則P（x，-x²+2x+3）．根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可以求得線段PQ=-x²+x+2；最后由圖示以及三角形的面積公式知S_△APC=-

3

2

（x-

1

2

）²+

27

8

，所以由二次函數(shù)的最值的求法可知△APC的面積的最大值；
方法二：過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)H；過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖2．設(shè)Q（x，x+1），則P（x，-x²+2x+3）．根據(jù)圖示以及三角形的面積公式知S_△APC=S_△APH+S_{直角梯形PHGC}-S_△AGC=-

3

2

（x-

1

2

）²+

27

8

，所以由二次函數(shù)的最值的求法可知△APC的面積的最大值；

解答：解：（1）由拋物線y=-x²+bx+c過點(diǎn)A（-1，0）及C（2，3）得，

-1-b+c=0 -4+2b+c=3

，
解得

b=2 c=3

，
故拋物線為y=-x²+2x+3
又設(shè)直線為y=kx+n過點(diǎn)A（-1，0）及C（2，3）得

-k+n=0 2k+n=3

，
解得

k=1 n=1

故直線AC為y=x+1；

（2）如圖1，作N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對稱點(diǎn)N′，則N′（6，3），由（1）得D（1，4），
故直線DN′的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

5

x+

21

5

，
當(dāng)M（3，m）在直線DN′上時(shí)，MN+MD的值最小，
則m=-

1

5

×3+

21

5

=

18

5

；



（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），
∵點(diǎn)E在直線AC上，
設(shè)E（x，x+1），
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E上方，
則F（x，x+3），
∵F在拋物線上，
∴x+3=-x²+2x+3，
解得，x=0或x=1（舍去）
∴E（0，1）；
②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC（或CA）延長線上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E下方，
則F（x，x-1）
由F在拋物線上
∴x-1=-x²+2x+3
解得x=

1- 17

2

或x=

1+ 17

2

∴E（

1- 17

2

，

3- 17

2

）或（

1+ 17

2

，

3+ 17

2

）
綜上，滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1）、（

1- 17

2

，

3- 17

2

）或（

1+ 17

2

，

3+ 17

2

）；

（4）方法一：如圖3，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)H；過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，設(shè)Q（x，x+1），則P（x，-x²+2x+3）
∴PQ=（-x²+2x+3）-（x+1）
=-x²+x+2
又∵S_△APC=S_△APQ+S_△CPQ
=

1

2

PQ•AG
=

1

2

（-x²+x+2）×3
=-

3

2

（x-

1

2

）²+

27

8

∴面積的最大值為

27

8

．

方法二：過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)H；過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖3，
設(shè)Q（x，x+1），則P（x，-x²+2x+3）
又∵S_△APC=S_△APH+S_{直角梯形PHGC}-S_△AGC
=

1

2

（x+1）（-x²+2x+3）+

1

2

（-x²+2x+3+3）（2-x）-

1

2

×3×3
=-

3

2

x²+

3

2

x+3
=-

3

2

（x-

1

2

）²+

27

8

∴△APC的面積的最大值為

27

8

．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題．解答（3）題時(shí)，要對點(diǎn)E所在的位置進(jìn)行分類討論，以防漏解．