Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，動點P以2米/秒的速度從點A出發(fā)，沿AC向點C移動，同時動點Q以1米/秒的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，當(dāng)P、Q兩點中其中一點到達終點時則停止運動．設(shè)P、Q兩點移動t秒后，四邊形ABQP的面積為S米．
（1）求面積S關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系，并求出t的取值范圍；
（2）在P、Q兩點移動過程中，求當(dāng)△PQC為等腰三角形時t的值．

Answer 1

分析：（1）過點P作PE⊥BC于E，根據(jù)PE∥AB得到比例式，代入求出PE的長，根據(jù)S等于△ABC的面積減去△PQC的面積，代入求出即可；
（2）有三種情況：①PC=QC，②PQ=QC，③PQ=PC，代入得出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可．

解答：解：（1）過點P作PE⊥BC于E，
在Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=

62+82

=10米，
依題意有AP=2t，CQ=t，PC=10-2t．
由AB⊥BC，PE⊥BC，得PE∥AB，
∴

PE

AB

=

PC

AC

，
即

PE

6

=

10-2t

10

?PE=

3

5

(10-2t)=-

6

5

t+6，
∴S=S△ABC-S△PQC=

1

2

×6×8-

1

2

•t•(-

6

5

t+6)=

3

5

t2-3t+24，
即S=

3

5

t2-3t+24，
∵10-2t＞0，t＞0，
∴0＜t＜5，
答：面積S關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系是S=

3

5

t²-3t+24，t的取值范圍是0＜t＜5．

（2）解：①當(dāng)PC=QC時，有t=10-2t?t=

10

3

(秒)，
②當(dāng)PQ=QC時，有

1 2 (10-2t)

t

=

4

5

?t=

25

9

（秒），
③當(dāng)PQ=PC時，有

1 2 t

10-2t

=

4

5

?t=

80

21

（秒），
所以，當(dāng)t為

10

3

秒、

25

9

秒、

80

21

秒時，△PQC為等腰三角形，
答：當(dāng)△PQC為等腰三角形時t的值為

10

3

秒、

25

9

秒、

80

21

秒．

點評：本題主要考查對等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵．