Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結(jié)AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數(shù)是
①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°；③點D在AB的中垂線上；④S_△DAC：S_△ABC=1：3．

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：①根據(jù)作圖的過程可以判定AD是∠BAC的角平分線；
②利用角平分線的定義可以推知∠CAD=30°，則由直角三角形的性質(zhì)來求∠ADC的度數(shù)；
③利用等角對等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證明點D在AB的中垂線上；
④利用30度角所對的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計算公式來求兩個三角形的面積之比．
解答：解：①根據(jù)作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線．
故①正確；
②如圖，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．
故②正確；
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴點D在AB的中垂線上．
故③正確；
④∵如圖，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD=AD，
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S_△DAC=AC•CD=AC•AD．
∴S_△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，
∴S_△DAC：S_△ABC=AC•AD：AC•AD=1：3．
故④正確．
綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④，共有4個．
故選D．
點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及作圖-基本作圖．解題時，需要熟悉等腰三角形的判定與性質(zhì)．