(1)證明:∵∠C=90°,CD為斜邊AB上的高,
∴∠ADC=∠ACB=90°,
∵∠A=∠A,
∴△ABC∽△ADC;
(2)解:∵關(guān)于x的一元二次方程mx
2-(m-2)x+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
(m-1)=0有兩個不相等的實數(shù)根,
∴m≠0,b
2-4ac=[-(m-2)]
2-4•m•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
(m-1)>0,
解得:m<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
且m≠0;
(3)解:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201304/51d6691cdd448.png)
設(shè)AC=b,BC=a,AB=c,AB上高CD=h,
∵由三角形的面積公式得:S
△ACB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
ab=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
ch,
∴h=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/16800.png)
,
∴Rt△ABC的斜邊與斜邊上的高的比是:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/373122.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/373123.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/48644.png)
,
mx
2-(m-2)x+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
(m-1)=0,
則sinA+sinB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/15609.png)
,sinA•sinB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/282485.png)
,
∵∠A+∠B=90°,
∴sin
2A+sin
2B=(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3053.png)
)
2+(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1808.png)
)
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/30495.png)
=1,
即(sinA+sinB)
2-2sinA•sinB=1,
(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/15609.png)
)
2-2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/282485.png)
=1,
整理得:m
2+7m-8=0,
m=-8,m=1,
①當(dāng)m=-8時,方程為-8x
2+10x-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2321.png)
=0,
32x
2-40x+9=0,
sinA•sinB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3053.png)
•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1808.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8094.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/156580.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8094.png)
,
即Rt△ABC的斜邊與斜邊上的高的比是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/67856.png)
;
②當(dāng)m=1時,方程為x
2+x=0,
sinA•sinB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3053.png)
•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1808.png)
=0,
∵∠A和∠B是△ACB的內(nèi)角,
∴此種情況不符合題意舍去,
綜合上述,Rt△ABC的斜邊與斜邊上的高的比是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/67856.png)
.
分析:(1)根據(jù)∠ADC=∠ACB=90°和∠A=∠A即可推出兩三角形相似;
(2)根據(jù)已知得出m≠0,b
2-4ac=[-(m-2)]
2-4•m•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/96.png)
(m-1)>0,求出即可;
(3)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出sinA+sinB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/15609.png)
,sinA•sinB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/282485.png)
,根據(jù)sin
2A+sin
2B=1推出(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/15609.png)
)
2-2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/282485.png)
=1,求出m的值,代入方程即可得出答案.
點評:本題考查了直角三角形性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)和判定,三角形的面積,根與系數(shù)的關(guān)系,根的判別式等知識點的綜合運用,題目比較好,但是一道難度偏大的題目.