Question

如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)y=x的圖象l是第一、三象限的角平分線．
（1）實驗與探究：由圖觀察易知A（0，2）關于直線l的對稱點A′的坐標為（2，0），請在圖中分別標明B（5，3）、C（-2，5）關于直線l的對稱點B′、C′的位置，并寫出它們的坐標：B′

（3，5）

、C′

（5，-2）

；
（2）歸納與發(fā)現(xiàn)：結合圖形觀察以上三組點的坐標，你會發(fā)現(xiàn)：坐標平面內任一點P（m，n）關于第一、三象限的角平分線l的對稱點P′的坐標為

（n，m）

；
（3）類比與猜想：坐標平面內任一點P（m，n）關于第二、四象限的角平分線的對稱點P′的坐標為

（-n，-m）

；
（4）運用與拓廣：已知兩點D（0，-3）、E（-1，-4），試在第一、三象限的角平分線l上確定一點Q，使點Q到D、E兩點的距離之和最小，并求出Q點坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A（0，2）關于直線l的對稱點A′的坐標為（2，0）進行解答；
（2）根據(jù)關于直線y=x對稱的點的坐標特點進行解答；
（3）根據(jù)關于直線y=-x的對稱的點的坐標特點進行解答；
（4）求出點D關于直線y=-x的對稱點D′，利用待定系數(shù)法求出直線D′E的解析式，求出直線D′E與直線y=-x的交點坐標即為Q點的坐標．

解答：解：（1）∵A（0，2）關于直線l的對稱點A′的坐標為（2，0），
∴B（5，3）、C（-2，5）關于直線l的對稱點B′（3，5），C′（5，-2），
故答案為：（3，5）；（5，-2）

（2）∵A（0，2）關于直線l的對稱點A′的坐標為（2，0），
∴關于直線l對稱的點的坐標橫縱坐標互為相反數(shù)，
∴點P（m，n）關于第一、三象限的角平分線l的對稱點P′的坐標為（n，m）．
故答案為：（n，m）；

（3）猜想：坐標平面內任一點P（m，n）關于第二、四象限的角平分線的對稱點P′的坐標為：（-n，-m），
故答案為：：（-n，-m）；

（4）∵點D關于直線y=x的對稱點D′（-3，0），
設過點D′E的直線解析式為y=kx+b（k≠0），
∵D′（-3，0），E（-1，-4），
∴

-3k+b=0 -k+b=-4

，解得

k=-2 b=-6

，
∴直線D′E的解析式為y=-2x-6，
∵點Q是直線D′E與直線y=x相交與點Q，
∴

y=-2x-6 y=x

，解得

x=-2 y=-2

，
∴Q（-2，-2）

點評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到關于直線y=x，y=-x的點的坐標特點、軸對稱-最短路線問題等知識，難度適中．