Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓D與y軸相切于點(diǎn)C（0，4），與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，且AB=6．
（1）則D點(diǎn)的坐標(biāo)是 （______，______），圓的半徑為_(kāi)_____；
（2）sin∠ACB=______；經(jīng)過(guò)C、A、B三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式______；
（3）設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為F，證明直線(xiàn)FA與圓D相切；
（4）在x軸下方的拋物線(xiàn)上，是否存在一點(diǎn)N，使△CBN面積最大，最大值是多少，并求出N點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

（1）解：連接DC，則DC⊥y軸，

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，則DE垂直平分AB，
∵AB=6，
∴AE=3，
在Rt△ADE中，AD===5，
故可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，4），圓的半徑為5；

（2）解：在Rt△AOC中，AC===2，
在Rt△BOC中，BC===5，
∵S_△ABC=AC×BCsin∠ACB=AB×CO，
∴sin∠ACB==；
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式為：y=ax²+bx+c，
將三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：，
解得：，
故經(jīng)過(guò)C、A、B三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為：y=x²-x+4．

（3）證明：因?yàn)镈為圓心，A在圓周上，DA=r=5，故只需證明∠DAF=90°，
拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)：F（5，-），DF=4+=，AF==，
∵DA²+AF²=5²+（）²==（）²=DF²，
∴∠DAF=90°
所以AF切于圓D．

（4）解：存在點(diǎn)N，使△CBN面積最小．
根據(jù)點(diǎn)B及點(diǎn)C的坐標(biāo)可得：直線(xiàn)BC的解析式為：y=-x+4，
設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)（a，），過(guò)點(diǎn)N作NP與y軸平行，交BC于點(diǎn)P，

可得P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，），
則NP=-（）=
故S_△BCN=S_△BPN+S_△PCN=×PN×OH+×PN×BH=PN×BO=×8×（）=16-（a-4）²
當(dāng)a=4時(shí)，S_△BCN最大，最大值為16，此時(shí)，N（4，-2）．
分析：（1）連接DC，則DC⊥y軸，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，則根據(jù)垂徑定理可得AE=BE=3，連接DA，在Rt△ADE中可求出DA，即圓的半徑，也可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)S_△ABC=AC×BCsin∠ACB=AB×CO，可得出sin∠ACB，利用待定系數(shù)法可求出經(jīng)過(guò)C、A、B三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式．
（3）因?yàn)镈為圓心，A在圓周上，DA=r=5，故只需證明∠DAF=90°，利用勾股定理的逆定理證明∠DAF=90°即可．
（4）設(shè)存在點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作NP與y軸平行，交BC于點(diǎn)P，求出直線(xiàn)BC的解析式，設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)（a，），則可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，-a+4），從而根據(jù)S_△BCN=S_△BPN+S_△PCN，表示出△BCN的面積，利用配方法可確定最大值，繼而可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)及圓的綜合，涉及了垂徑定理、拋物線(xiàn)求二次函數(shù)解析式、切線(xiàn)的判定與性質(zhì)，綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，同學(xué)們注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力，關(guān)鍵還是基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，要能將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，第四問(wèn)解法不止一種，同學(xué)們可以積極探索其他解法．