Question

初三（04）班在一次答題活動中，簽筒中有4根形狀，大小相同的紙簽，簽里頭分別寫上了一個方程：
①x²-x=0；②（x-1）²-（2x-5）²=0；③x²+12x+36=0；④x²-3x-1=0．
（1）四個方程中有兩個相等的實數(shù)根的方程是______（填番號即可），并解有兩個相等的實數(shù)根方程；
（2）小明首先抽簽，他看不到紙簽上的方程的情況下，從簽中隨機地抽取一根紙簽，那么他抽到兩根均為正整數(shù)的方程的概率是______．

Answer 1

解：（1）①x²-x=0，
∵a=1，b=-1，c=0，
∴b²-4ac=（-1）²-4×1×0=1＞0，
則方程有兩個不相等的實數(shù)根，
方程化為x（x-1）=0，
解得：x₁=0，x₂=1；
②（x-1）²-（2x-5）²=0，
整理為：x²-6x+8=0，
∵a=1，b=-6，c=8，
∴b²-4ac=（-6）²-4×1×8=4＞0，
則方程有兩個不相等的實數(shù)根，
方程變形為：（x-1）²=（2x-5）²，
可化為x-1=2x-5或x-1=-（2x-5），
解得：x₁=2，x₂=4；
③x²+12x+36=0，
∵a=1，b=12，c=36，
∴b²-4ac=12²-4×1×36=0，
則方程有兩個相等的實數(shù)根，
方程變形為（x+6）²=0，
解得：x₁=x₂=-6；
④x²-3x-1=0，
∵a=1，b=-3，c=-1，
∴b²-4ac=（-3）²-4×1×（-1）=13＞0，
則方程有兩個不相等的實數(shù)根，
解得x=，
∴x₁=，x₂=；
四個方程中有兩個相等的實數(shù)根的方程是③，其解如上所示；
（2）四個方程中兩解都為正整數(shù)的方程為②，只有一個，
則抽到兩根均為正整數(shù)的方程的概率P=．
故答案為：（1）③；（2）
分析：（1）找出四個方程中的二次項系數(shù)a，一次項系數(shù)b及常數(shù)項c，計算出b²-4ac的值，即可得到有兩個相等實數(shù)根的方程，求出此方程的解即可；
（2）方程①左邊提取x，利用因式分解法求出解；方程②移項后根據(jù)兩數(shù)平方相等，兩數(shù)相等或互為相反數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解；方程③利用完全平方公式變形后，開方求出解；方程④利用公式法求出解，找出兩解都為正整數(shù)的方程，即可求出所求的概率．
點評：此題考查了根的判別式，一元二次方程的解法，以及概率的計算，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），當b²-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當b²-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當b²-4ac＜0時，方程無解．