Question

（2013•柳州）有下列4個命題：
①方程x²-（

2

+

3

）x+

6

=0的根是

2

和

3

．
②在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．若AD=4，BD=

9

4

，則CD=3．
③點P（x，y）的坐標x，y滿足x²+y²+2x-2y+2=0，若點P也在y=

k

x

的圖象上，則k=-1．
④若實數(shù)b、c滿足1+b+c＞0，1-b+c＜0，則關(guān)于x的方程x²+bx+c=0一定有兩個不相等的實數(shù)根，且較大的實數(shù)根x₀滿足-1＜x₀＜1．
上述4個命題中，真命題的序號是

①②③④

．

Answer 1

分析：①利用因式分解法解一元二次方程即可；
②利用射影定理直接求出即可；
③利用配方法得出x，y的值，進而得出xy=k的值，即可得出答案；
④根據(jù)1+b+c＞0，1-b+c＜0，即x=1，x=-1時得出y的取值范圍，畫出圖象即可得出較大的實數(shù)根的取值范圍．

解答：解：①方程x²-（

2

+

3

）x+

6

=0的根是

2

和

3

，此命題正確；
②在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．若AD=4，BD=

9

4

，則CD=3．
由題意得出：CD ²=AD×BD，故此命題正確；
③∵點P（x，y）的坐標x，y滿足x²+y²+2x-2y+2=0，
∴（x+1）²+（y-1）²=0，
解得：x=-1，y=1，
∴xy=-1，
故點P也在y=

k

x

的圖象上，則k=-1此命題正確；
④∵實數(shù)b、c滿足1+b+c＞0，1-b+c＜0，
∴y=x²+bx+c的圖象如圖所示，
∴關(guān)于x的方程x²+bx+c=0一定有兩個不相等的實數(shù)根，且較大的實數(shù)根x₀滿足-1＜x₀＜1，故此選項正確．
故答案為：①②③④．

點評：此題主要考查了射影定理即二次函數(shù)圖象與一元二次方程以及一元二次方程的解法和反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．