Question

【題目】已知在線段AB上有一點C（點C不與A、B重合且AC＞BC），分別以AC、BC為邊作正方形ACED和正方形BCFG，其中點F在邊CE上，連接AG．

（1）如圖1，若AC=7，BC=5，則AG=______；

（2）如圖2，若點C是線段AB的三等分點，連接AE、EG，求證：△AEG是直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）13；（2）見解析

【解析】

（1）由正方形的性質得出∠B=90°，BG=BC=5，則AB=AC+BC=12，由勾股定理即可得出結果；

（2）設BC=a，由正方形的性質和點C是線段AB的三等分點得出AC=CE=2BC=2CF=2a，BC=BG=FG=CF=EF=a，∠B=∠ACE=∠EFG=∠EFG=90°，由勾股定理得出AE2=AC2+CE2=8a2，AG2=AB2+BG2=10a2，EG2=EF2+FG2=2a2，證得AG2=AE2+EG2，即可得出結論．

（1）解：∵四邊形BCFG是正方形，

∴∠B=90°，BG=BC=5，

∵AB=AC+BC=7+5=12，

∴AG===13，

故答案為：13；

（2）證明：設BC=a，

∵四邊形ACED和四邊形BCFG都是正方形，點C是線段AB的三等分點，

∴AC=CE=2BC=2CF=2a，BC=BG=FG=CF=EF=a，∠B=∠ACE=∠EFG=∠EFG=90°，

∴AE2=AC2+CE2=8a2，

AB=3BC=3a，

AG2=AB2+BG2=9a2+a2=10a2，

EG2=EF2+FG2=a2+a2=2a2，

∴AE2+EG2=8a2+2a2=10a2，

∴AG2=AE2+EG2，

∴△AEG是直角三角形．