Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O直徑，AC=CD，連接AD交BC于點(diǎn)M，延長(zhǎng)MC到N，使CN=CM．
（1）判斷直線(xiàn)AN是否為⊙O的切線(xiàn)，并說(shuō)明理由；
（2）若AC=10，tan∠CAD=

3

4

，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由MC=CN，且得出AC垂直于MN，則△AMC是等腰三角形，所以∠CAN=∠DAC，再由AC=DC，則∠D=∠DAC，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得出∠B=∠D，從而得出∠B=∠NAC，即可得出∠BAN=90°；
（2）等腰三角形ACD中，兩腰AC=CD=10，且已知底角正切值，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，底邊長(zhǎng)AD可以求出來(lái)．

解答：解：（1）直線(xiàn)AN是⊙O的切線(xiàn)，理由是：
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵CN=CM，
∴∠CAN=∠DAC，
∵AC=CD，
∴∠D=∠DAC，
∵∠B=∠D，
∴∠B=∠NAC，
∵∠B+∠BAC=90°，
∴∠NAC+∠BAC=90°，
∴OA⊥AN，
又∵點(diǎn)A在○O上，
∴直線(xiàn)AN是⊙O的切線(xiàn)；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，
∵tan∠CAD=

3

4

，
∴

CE

AE

=

3

4

，
∵AC=10，
∴設(shè)CE=3x，則AE=4x，
在Rt△ACE中，根據(jù)勾股定理，CE²+AE²=AC²，
∴（3x）²+（4x）²=100，
解得x=2，
∴AE=8，
∵AC=CD，
∴AD=2AE=2×8=16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，圓周角定理以及解直角三角形，是基礎(chǔ)知識(shí)比較簡(jiǎn)單．