Question

已知：如圖所示，直線l的解析式為，并且與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B.

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）一個圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為1的圓，以0.4個單位/秒的速度向x軸正方向運(yùn)動，問在什么時刻與直線l相切；

（3）在題（2）中，若在圓開始運(yùn)動的同時，一動點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線BA方向以0.5個單位/秒的速度運(yùn)動，設(shè)t秒時點(diǎn)P到動圓圓心的距離為s，求s與t的關(guān)系式；

（4）問在整個運(yùn)動過程中，點(diǎn)P在動圓的圓面(圓上和圓內(nèi)部)上，一共運(yùn)動了多長時間？

 

Answer 1

【答案】

（1）（4，0），（0，－3）；（2）秒或秒；（3）；（4）秒.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)直線l的解析式為直接求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）當(dāng)圓與直線相切時，分圓還直線l的左右側(cè)兩種情況討論即可；（3）分和討論即可；（4）設(shè)t秒時，圓心運(yùn)動到點(diǎn)G，連接GP，先證明△AGP∽△AOB，且GP∥OB。從而根據(jù)點(diǎn)P進(jìn)入和離開動圓的圓面的位置求出在整個運(yùn)動的過程中，點(diǎn)P在動圓的圓面（圓上和圓的內(nèi)部）上運(yùn)動的時間.

試題解析：（1）∵直線l的解析式為，并且與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，

∴當(dāng)y=0時，x=4；當(dāng)x=0時，y=－3. ∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，－3）.

（2）若動圓的圓心在C處時與直線l相切，設(shè)切點(diǎn)為D，

∵A（4，0）B（0，－3），∴AB=.

如圖，連接CD，則CD⊥AD.

∵∠CAD=∠BAO，∠CDA=∠BOA=90⁰，∴Rt△ACD∽Rt△ABO. ∴.

∵CD=1，BO=3，AB=5，∴. ∴. ∴.

∵圓運(yùn)動的速度為0.4個單位/每秒，∴t=（秒）.

根據(jù)對稱性，圓還可能在直線l的右側(cè)，與直線相切，

若動圓的圓心在E處時與直線l相切，設(shè)切點(diǎn)為F，此時，t=（秒）.

∴當(dāng)圓運(yùn)動秒或秒時圓與直線l相切.

（3）.

（4）如圖，設(shè)t秒時，圓心運(yùn)動到點(diǎn)G，連接GP，

∵動點(diǎn)P的速度是0.5個單位/秒，∴BP=0.5t，AP=5－0.5t.

∵動圓的速度是0.4個單位/秒，∴OG=0.4t，AP=4－0.4t.

∴. ∴.

∴△AGP∽△AOB，且GP∥OB. ∴GP⊥OA.

∴當(dāng)GP=1（圓的半徑）時，點(diǎn)P進(jìn)入動圓的圓面.

∴，即. ∴.

∴點(diǎn)P經(jīng)過AP的時間為（秒）.

根據(jù)對稱性，點(diǎn)A的右邊點(diǎn)P在動圓的圓面上還有秒.

∴在整個運(yùn)動的過程中，點(diǎn)P在動圓的圓面（圓上和圓的內(nèi)部）上一共運(yùn)動了秒.

考點(diǎn)：1.一次函數(shù)綜合題；2.動點(diǎn)和動圓問題；3.直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性質(zhì)；6.平行的判定；7.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系；8.分類思想的應(yīng)用.