(如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使點C落在斜邊AB上某一點D處,折痕為EF(點E、F分別在邊AC、BC上).
(1)若△CEF與△ABC相似.
①當(dāng)AC=BC=2時,AD的長為_________;
②當(dāng)AC=3,BC=4時,AD的長為_________;
(2)當(dāng)點D是AB的中點時,△CEF與△ABC相似嗎?請說明理由.
(1)①;②
或
;(2)△CEF與△ABC相似.理由詳見解析.
【解析】
試題分析:(1)①如圖1,有△CEF與△ABC相似,可得∠CEF=∠A=45°,由題意知△CEF≌△DEF, 所以CE=DE,∠DEF=∠CEF=45°,所以∠DEC=90°,即∠AED=90°,又∠A=45°,所以△AED是等腰直角三角形,所以AE=DE,所以AE=CE=1,根據(jù)勾股定理可求得AD=.②分兩種情況:一、當(dāng)△CEF∽△CAB時,如圖2,則有∠CEF=∠CAB,所以EF∥AB,根據(jù)題意,點C與點D關(guān)于直線EF對稱,所以CD⊥EF,所以CD⊥AB,由三角形的面積公式可求得CD=2.4,在△ACD中,由勾股定理可得AD=
;二、當(dāng)△CFE∽△CAB時,如圖3,此時有∠A=∠CFE, ∠B=∠CEF,又∠A+∠B=90°,所以∠A+∠CEF=90°, ∠B+∠CFE=90°,前面已證EF⊥CD,所以∠DCE+∠CEF=90°,∠DCF+∠CFE=90°,所以∠A=∠ACD, ∠B=∠BCD,所以AD=CD=BD=2.5;(2)利用折疊前后對應(yīng)的部分關(guān)于折疊線對稱,以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,即可求得∠A=∠CFE, ∠B=∠CEF,所以得證.
試題解析:(1)①;②
;
(2)△CEF與△ABC相似.理由如下:
如圖,連接CD,與EF交于點Q.
∵CD是Rt△ABC的中線,
∴CD=DB=AB,∴∠DCB=∠B.
由折疊性質(zhì)可知,∠CQF=∠DQF=90°,
∴∠DCB+∠CFE=90°,
∵∠B+∠A=90°,
∴∠CFE=∠A,
又∵∠ECF=∠BCA,
∴△CEF∽△CBA.
考點:1、相似三角形的性質(zhì);2、相似三角形的判定.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012年廣東省湛江市中考調(diào)研數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
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