Question

如圖，二次函數y=-x²+px+q的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，3），頂點M在第一象限，∠ABC=30°．
（1）求點A、B的坐標和二次函數的關系式；
（2）設直線y=x-9與y軸的交點是D，在線段BC上任取一點E（不與B、C重合），經過A、B、E三點的圓交直線BD于點F，
①試判斷△AEF的形狀，并說明理由；
②設BF=m，m的取值范圍是多少？（直接寫出，無需過程）．

Answer 1

解：（1）∵圖象與y軸交于點C（0，3），
∴CO=3，即q=3，
∵∠ABC=30°，
∴tan30°=，
∴BO=3，
∴B點坐標為：（3，0）
代入解析式得：0=-27+3p+3，
解得：p=，
∴二次函數的關系式為：y=-x²+x+3；
∴0=-x²+x+3；
解得：x₁=3，x₂=-；
∴A點坐標為：（-，0）；

（2）①△AEF是直角三角形，
理由：∵直線y=x-9與y軸的交點是D，
∴D點坐標為：（0，-9），
∵B點坐標為：（3，0），C（0，3），
∴∠ABC=30°，∠ABD=60°，
由圓周角定理可得出，∠AFE=∠ABC=30°，∠AEF=∠ABD=60°，
∴∠EAF=90°，
∴△AEF是直角三角形，
②∵最短時AF⊥BF，最長時BF為直徑，
∴BF為直徑，則2AB=BF=，
∵最短時AF⊥BF時，
∵AF⊥AE，BF⊥BC，
∴AE∥BF，AF∥BC，
∴AE=BF，E點與C點重合時，BF最短，AB為直徑，
∴∠ACO=30°，
∴AE=2AO，
∴BF=AE=2AO=，
∴m的取值范圍是：＜m＜．
分析：（1）利用圖象以及得出∠ABC=30°，得出B點坐標，進而求出二次函數解析式即可；
（2）①結合已知畫出圖象，進而利用圓周角定理以及銳角三角函數知識求出即可；
②利用最短時AF⊥BF，以及最長時BF為直徑，可據圖分析求出取值范圍即可．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及垂徑定理和圓周角定理，根據已知得出∠AFE=∠ABC=30°，∠AEF=∠ABD=60°是解題關鍵．