Question

如圖，在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點(diǎn)，P是斜邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D為射線BC上的一點(diǎn)，且PB=PD，過D點(diǎn)作AC邊上的高DE．
（1）求證：PE=BO；
（2）設(shè)AC=8，AP=x，S_△PBD為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）是否存在這樣的P點(diǎn)，使得△PBD的面積是△ABC面積的？如果存在，求出AP的長；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）P在AO上（如圖1）：
∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點(diǎn)
∴BO⊥AC
∵DE⊥AC
∴∠POB=∠DEP=90°（1分）
∵PB=PD
∴∠PBD=∠PDB，
∵∠OBC=∠C=45°，
∴∠OBP+∠OBC=∠PDB=∠CPD+∠PCD，
∵∠PBD=∠PDB，
∴∠PB0=∠DPE（2分）
∴△POB≌△DEP（AAS）
∴PE=BO（1分）
P在OC上（如圖2）：
∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點(diǎn)
∴BO⊥AC
∵DE⊥AC
∴∠POB=∠DEP=90°
∵PB=PD
∴∠PBD=∠PDB
∵∠C=∠DCE=∠CDE=45°
∴∠PB0=∠DPE（1分）
∴△POB≌△DEP（AAS）
∴PE=BO（1分）

（2）P在AO上（如圖1）：
由△POB≌△DEP得BO=PE=4，
∴PO=DE=EC=4-x，（1分）
∴S_△PBD=S_PBDE-S_△PDE=S_△PBO+S_OBDE-S_△PDE=S_OBDE=S_△OBC-S_△DEC
∴S_△PBD=（2分）
P在OC上（如圖2）：
由△POB≌△DEP得BO=PE=4，
∴PO=DE=EC=x-4，（1分）
∴S_△PBD=S_△PBC+S_△PDC=S_△PBC+S_△PDE-S_△CDE=S_△PBC+S_△POB-S_△CDE
=（2分）
∴
即y=（8x-x²），（0＜x＜8）；
（3）S_△ABC=16，要使得△PBD的面積是△ABC面積的，
只要，解方程得x₁=2，x₂=6，（2分）
即當(dāng)AP等于2或6時(shí)，△PBD的面積是△ABC面積的
注：（2）中的S_△PBD的求解可以直接用面積計(jì)算，而且不需分類討論，可酌情給分）
分析：（1）根據(jù)在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點(diǎn)得到BO⊥AC，再根據(jù)DE⊥AC得到∠POB=∠DEP=90°，從而證明△POB≌△DEP，進(jìn)而證得結(jié)論P(yáng)E=BO；解題時(shí)注意分P在AO上和P在OC上兩種情況討論；
（2）由△POB≌△DEP得BO=PE=4，當(dāng)點(diǎn)P在AO上時(shí)，PO=DE=EC=4-x，此時(shí)，S_△PBD=S_PBDE-S_△PDE，當(dāng)P在OC上時(shí)，PO=DE=EC=x-4，此時(shí)S_△PBD=S_△PBC+S_△PDC=S_△PBC+S_△PDE-S_△CDE=S_△PBC+S_△POB-S_△CDE
（3）根據(jù)S_△ABC=16，知道要使得△PBD的面積是△ABC面積的，只要，解方程得x₁=2，x₂=6從而得到當(dāng)AP等于2或6時(shí)，△PBD的面積是△ABC面積的．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用及全等三角形的判定及性質(zhì)，是一道難度較大、綜合性較強(qiáng)的綜合題，解題時(shí)一定要仔細(xì)審題．