Question

如圖，已知拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣5）和（﹣2，4）

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）設(shè)此拋物線與直線y=x相交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），平行于y軸的直線x=m（0＜m＜+1）與拋物線交于點(diǎn)M，與直線y=x交于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)P，求線段MN的長（用含m的代數(shù)式表示）；

（3）在條件（2）的情況下，連接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面積S最大？若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：

二次函數(shù)綜合題．.

專題：

壓軸題．

分析：

（1）利用待定系數(shù)法，將A，B的坐標(biāo)代入解析式即可求得二次函數(shù)的解析式；

（2）因?yàn)辄c(diǎn)B是y=x與y=x²﹣2x﹣4的交點(diǎn)，根據(jù)題意可求得N，M的坐標(biāo)，則可表示出MN的長，通過縱坐標(biāo)的絕對(duì)值的和求得；

（3）把△BOM分成兩個(gè)△OMN與△BMN，把MN作為兩個(gè)三角形的底，通過點(diǎn)B，P的縱坐標(biāo)表示出兩個(gè)三角形的高即可求得三角形的面積．

解答：

解：（1）由題意把點(diǎn)（1，﹣5）、（﹣2，4）代入y=x²+bx+c得：

，

解得b=﹣2，c=﹣4，（3分）

∴此拋物線解析式為：y=x²﹣2x﹣4；

（2）由題意得：，

∴x²﹣3x﹣4=0，

解得：x=4或x=﹣1（舍），

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4），

將x=m代入y=x條件得y=m，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，m），

同理點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m²﹣2m﹣4），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），

∴PN=|m|，MP=|m²﹣2m﹣4|，

∵0＜m＜+1，

∴MN=PN+MP=﹣m²+3m+4；

（3）作BC⊥MN于點(diǎn)C，

則BC=4﹣m，OP=m，

S=MN•OP+MN•BC，

=2（﹣m²+3m+4），

=﹣2（m﹣）²+12，（11分）

∵﹣2＜0，

∴當(dāng)m﹣=0，則m=時(shí)，S有最大值．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了三角形的面積，要注意將三角形分解成兩個(gè)三角形求解；

還要注意求最大值可以借助于二次函數(shù)．