Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OEFG的頂點E坐標為（3，0），頂點G坐標為（0，）．將矩形OEFG繞點O逆時針旋轉，使點F落在y軸的點N處，得到矩形OMNP，OM與GF交于點A．
（1）求過點A的反比例函數(shù)解析式；
（2）點P的坐標為______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)相似三角形的判定得出△OGA∽△OMN，再利用相似三角形的性質(zhì)得出AG的長度，即可得出A點坐標，進而求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）利用銳角三角函數(shù)關系求出∠GOA=30°，得到∠POD=30°，即可得出PD．DO的長，進而得出P點坐標，利用弧長公式求出點F運動路徑的長即可．
解答：解：（1）由已知，得∠OGA=∠M=90°，∠GOA=∠MON，
故△OGA∽△OMN，
∴=，
=，
解得：AG=1，
∴A（1，），
設反比例函數(shù)y=，把A（1，）代入，得k=，
即y=；

（2）如圖所示：連接OF，作PD⊥DO于點D，
∵A（1，），
∴tan∠GOA===，
∴∠GOA=30°，
∴∠POD=30°，
∵頂點G坐為（0，），將矩形OEFG繞點O逆時針旋轉，使點F落在y軸的點N處，得到矩形OMNP，
∴PO=，
∴PD=×=，DO=，
故點P（-，），
∵tan∠FOE=，
∴∠FOE=30°，
∴∠FON=60°，
∵OF==2，
∴l(xiāng)==π．
故答案為：P（-，），π．
點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應用圖形的旋轉和矩形的性質(zhì)，利用圖形的旋轉變化的性質(zhì)的得出對應點的坐標是解題關鍵．