Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）求∠P的度數(shù)；

（3）點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，AB=4，求線段BM、CM及弧BC所圍成的圖形面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得∠A=∠ACO，根據(jù)圓周角定理可得∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，即可證得∠A=∠ACO=∠PCB，再結(jié)合AB是⊙O的直徑即可作出判斷；（2）30°；（3）π+1

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得∠A=∠ACO，根據(jù)圓周角定理可得∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，即可證得∠A=∠ACO=∠PCB，再結(jié)合AB是⊙O的直徑即可作出判斷；

（2）由PC=AC可得∠A=∠P，即有∠A=∠ACO=∠P，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可；

（3）由點M是半圓O的中點，可得CM是∠ACB的角平分線，即得∠BCM=45°，由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)可得BC==2，作BD⊥CM于D，可得CD=BD=BC=，則可得DM的長，從而可得CM的長，再根據(jù)扇形的面積公式及三角形的面積公式求解即可.

（1）∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO

∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB

∴∠A=∠ACO=∠PCB

∵AB是⊙O的直徑   

∴∠ACO+∠OCB=90°

∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP

∵OC是⊙O的半徑  

∴PC是⊙O的切線；

（2）∵PC=AC，

∴∠A=∠P   

∴∠A=∠ACO=∠P

∵∠A+∠ACO+∠PCO+∠P=180°  

∴3∠P=90°

∴∠P=30°；

（3）∵點M是半圓O的中點，

∴CM是∠ACB的角平分線，

∴∠BCM=45°

由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°，

∴BC==2

作BD⊥CM于D，

∴CD=BD=BC=，

∴DM=BD=

∴CM=+，

∴S_△BCM=CM?BD=+1

∵∠BOC=2∠A=60°

∴弓形BmC的面積=π－ 

∴線段BM、CM及弧BC所圍成的圖形面積為π+1．

考點：圓的綜合題

點評：此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.