Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分線AE交CD于E，連接BE，且BE邊平分∠ABC，則以下命題不正確的個(gè)數(shù)是①BC+AD=AB；②E為CD中點(diǎn)；③∠AEB=90°；④S_△ABE=

1

2

S_{四邊形ABCD}；⑤BC=CE．（　　）

• A、0個(gè)
• B、1個(gè)
• C、2個(gè)
• D、3個(gè)

Answer 1

分析：根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠ABC+∠BAD=180°，又BE、AE都是角平分線，可以推出∠ABE+∠BAE=90°，從而得到∠AEB=90°，然后延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，先證明△ABE與△FBE全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AE=EF，然后證明△AED與△FEC全等，從而可以證明①②③④正確，AB與CD不一定相等，所以⑤不正確．

解答：解：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵AE、BE分別是∠BAD與∠ABC的平分線，
∴∠BAE=

1

2

∠BAD，∠ABE=

1

2

∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE=

1

2

（∠BAD+∠ABC）=90°，
∴∠AEB=180°-（∠BAE+∠ABE）=180°-90°=90°，
故③小題正確；
延長(zhǎng)AE交BC延長(zhǎng)線于F，
∵∠AEB=90°，
∴BE⊥AF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
在△ABE與△FBE中，

∠ABE=∠FBE BE=BE ∠AEB=∠FEB=90°

，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AB=BF，AE=FE，
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠F，
在△ADE與△FCE中，

∠EAD=∠F AE=FE ∠AED=∠FEC(對(duì)頂角相等)

，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD=CF，
∴AB=BC+CF=BC+AD，故①小題正確；
∵△ADE≌△FCE，
∴CE=DE，即點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，故②小題正確；
∵△ADE≌△FCE，
∴S_△ADE=S_△FCE，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABF，
∵S_△ABE=

1

2

S_△ABE，
∴S_△ABE=

1

2

S_{四邊形ABCD}，故④小題正確；
若AD=BC，則CE是Rt△BEF斜邊上的中線，則BC=CE，
∵BD與BC不一定相等，
∴BC與CE不一定相等，故⑤小題錯(cuò)誤．
綜上所述，不正確的有⑤共1個(gè)．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，證明BE⊥AF并作出輔助線是解題的關(guān)鍵，本題難度較大，對(duì)同學(xué)們的能力要求較高．