Question

如圖，Rt△ABO在直角坐標系中，∠ABO=90°，點A（-25，0），∠A的正切值為，直線AB與y軸交于點C．
（1）求點B的坐標；
（2）將△ABO繞點O順時針旋轉，使點B落在x軸正半軸上的B′處．試在直角坐標系中畫出旋轉后的△A′B′O，并寫出點A′的坐標；
（3）在直線OA′上是否存在點D，使△COD與△AOB相似？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過點B作BH⊥AO于H，由tgA=，設BH=4k，AH=3k，則AB=5k
在Rt△ABO中，
∵tgA=，AO=25，
∴AB=15
∴k=3，
∴BH=12，AH=9，
∴OH=16
∴B（-16，12）

（2）正確畫圖
A′（20，15）

（3）在Rt△AOC中，AO=25，tgA=，
∴OC=
設OA′的解析式為y=kx，則15=20k，則k=，
∴y=x
∵△ABO旋轉至△A′B′O，
∴∠AOB=∠A′OB′，
∵∠AOB+∠A=90°，∠COA′+∠A′OB′=90°，
∴∠A=∠COA′
∴在直線OA′上存在點D符合條件，設點D的坐標為（x，x），則OD=
1°當即，也即x=16時，△COD與△AOB相似，
此時D（16，12）
2°當即，也即x=時，△COD與△AOB相似，
此時D（）
分析：（1）過點B作BH⊥AO于H，由tgA=，設BH=4k，AH=3k，則AB=5k，在Rt△ABO中由tgA=，AO=25即可求出AB、BH、AH及OH的長，進而可得出B點坐標；
（2）由圖形旋轉的性質畫出△A′B′C′，由OB′A′B′的長即可求出A′點的坐標；
（3）在Rt△AOC中，由AO=25，tgA=可求出OC的長，設OA′的解析式為y=kx，由A′點的坐標即可求出k的值，由圖形旋轉的性質可得出在直線OA′上存在點D符合條件，設點D的坐標為（x，x），則OD=，分別根據△COD∽△AOB、△COD∽△AOB求出x的值，進而可得出D點坐標．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，涉及到坐標與圖形的性質、圖形旋轉的性質及解直角三角形，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．