Question

在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=

2 3

3

kx+m（-

1

2

≤k≤

1

2

）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2

3

，4），且與y軸相交于點(diǎn)C．點(diǎn)B在y軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OB=OA+7-2

7

．記△ABC的面積為S．
（1）求m的取值范圍；
（2）求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)點(diǎn)B在y軸的正半軸上，當(dāng)S取得最大值時(shí)，將△ABC沿AC折疊得到△AB′C，求點(diǎn)B′的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)在直線上的意義可知

2 3

3

×2

3

k+m=4，k=1-

1

4

m．因?yàn)?span id="rbbccu9" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">-

1

2

≤k≤

1

2

，即-

1

2

≤1-

1

4

m≤

1

2

．解得2≤m≤6．
（2）根據(jù)題意易得：OA=2

7

，OB=7．所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，7）或（0，-7）．
直線y=

2 3

3

kx+m與y軸的交點(diǎn)為C（0，m）．
當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，7）時(shí)，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7-m．所以S=

1

2

•2

3

•BC=

3

（7-m）；
當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，-7）時(shí)，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7+m．所以S=

1

2

•2

3

•BC=

3

（7+m）．
（3）分別過(guò)點(diǎn)A、B′作y軸的垂線AD、B′E，垂足為D、E．
利用Rt△ACD中的關(guān)系：tan∠ACD=

AD

CD

=

3

，得∠ACD=60°，∠ACB′=∠ACD=60°，CB′=BC=7-2=5，所以∠B′CE=180°-∠B′CB=60°．
再利用Rt△B'CE中的線段之間的關(guān)系可求得，CE=

5

2

，B′E=

5 3

2

．故OE=CE-OC=

1

2

．所以點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（

5 3

2

，-

1

2

）．

解答：解：（1）∵直線y=

2 3

3

kx+m（-

1

2

≤k≤

1

2

）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2

3

，4），
∴

2 3

3

×2

3

k+m=4，
∴k=1-

1

4

m．
∵-

1

2

≤k≤

1

2

，∴-

1

2

≤1-

1

4

m≤

1

2

．
解得2≤m≤6．

（2）∵A的坐標(biāo)是（2

3

，4），∴OA=2

7

．
又∵OB=OA+7-2

7

，∴OB=7．∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，7）或（0，-7）．
直線y=

2 3

3

kx+m與y軸的交點(diǎn)為C（0，m）．
①當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，7）時(shí)，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7-m．
∴S=

1

2

•2

3

•BC=

3

（7-m）．
②當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，-7）時(shí)，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7+m．
∴S=

1

2

•2

3

•BC=

3

（7+m）．

（3）當(dāng)m=2時(shí)，一次函數(shù)S=-

3

m+7

3

取得最大值5

3

，這時(shí)C（0，2）．
如圖，分別過(guò)點(diǎn)A、B′作y軸的垂線AD、B′E，垂足為D、E．
則AD=2

3

，CD=4-2=2．
在Rt△ACD中，tan∠ACD=

AD

CD

=

3

，
∴∠ACD=60°．
由題意，得∠ACB′=∠ACD=60°，CB′=BC=7-2=5，
∴∠B′CE=180°-∠B′CB=60°．
在Rt△B′CE中，∠B′CE=60°，CB′=5，
∴CE=

5

2

，B′E=

5 3

2

．
故OE=CE-OC=

1

2

．
∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（

5 3

2

，-

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．