Question

已知如圖，拋物線y=ax²+bx-a的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，-4），直線x=m（m>1）與x軸交于點(diǎn)D。

（1）求拋物線的解析式；
（2）在直線x=m（m>1）上有一點(diǎn)P（點(diǎn)P在第一象限），使得以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似，求P點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）在（2）成立的條件下，試問：拋物線y=ax²+bx-a是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形？如果存在這樣的點(diǎn)Q，請(qǐng)求出m的值；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由。

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-a的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，-4），
∴b=0，a=4，
∴拋物線的解析式為y=4x²-4；
（2）設(shè)P（m，n），由4x²-4=0，
∴x=±1，
∴A（-1，0），B（0，1），
∵△OBC∽△PBD，
若∠OCB=∠PBD，則，
∴，
∴，此時(shí)，
若∠OCB=∠BPD，則，∴，
∴n=4（m-1），此時(shí)P（m，4（m-1））；
（3）假設(shè)拋物線存在點(diǎn)Q（x，y）使四邊形ABPQ為平行四邊形，
當(dāng)P（m，4m-4）時(shí)，AP的中點(diǎn)R的坐標(biāo)為：，
又∵R又是BQ的中點(diǎn)，
∴，Q（m-2，4（m-1）），
 ∵Q在拋物線上，
∴4（m-1）=4（m-2）²-4，
∴m-1=m²-4m+4-1，
∴m²-5m+4=0，
∴m=4或m=1（舍去），
當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，同理，，，
∴16m²-65m+49=0，m=或m=1（舍去），
∴當(dāng)m=4或時(shí)，AP與BQ互相平分，四邊形ABPQ是平行四邊形，
∴m=4或為所求。