Question

如圖，L₁，L₂，L₃是同一平面內(nèi)的三條平行直線(xiàn)，L₁與L₂間的距離是1，L₂與L₃間的距離是2，正三角形ABC的三頂點(diǎn)分別在L₁，L₂，L₃上，求△ABC的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：根據(jù)題意作高AE，BG，CF（如圖1）．根據(jù)等邊三角形及直角三角形的性質(zhì)，設(shè)AD=x，則AC=3x，于是DG=

x

2

，BG=

3

2

•3x=

3 3

2

x．根據(jù)三角形相似根據(jù)其相似比可求出DF，DE的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可解答．

解答：解：解法一：作高AE，BG，CF（如圖1）．
設(shè)AD=x，則AC=3x，于是DG=

x

2

，BG=

3

2

•3x=

3 3

2

x．
由Rt△BDG∽R(shí)t△CDF，
∴

BG

CF

=

DG

DF

，即

3 3 2 x

2

=

x 2

DF

，
∴DF=

2

3 3

，
∴DE=

1

3 3

，因此AD²=AE²+DE²=1+

1

27

=

28

27

，
∴AD=

28 27

，
∴AC=3x=3×

28 27

=

2 21

3

．

解法二：如圖2，過(guò)A，C作AE，CF垂直于L₂，點(diǎn)E，F(xiàn)是垂足，
將Rt△BCF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至Rt△BAD處，延長(zhǎng)DA交L₂于點(diǎn)G．
由作圖可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．
在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．
∴BD=

4 3

3

．
在Rt△ABD中，AB=

BD2+AD2

=

( 4 3 3 )2+22

=

2 21

3

．

解法三：如圖3，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于L₃的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是E，連接AE，CE，延長(zhǎng)EB交L₁于點(diǎn)G，則CE=CB，
∵CA=CB，
∴點(diǎn)A，B，E在以C為圓心，CA為半徑的圓上，
∴∠AEB=

1

2

∠ACB=30°，設(shè)AG=x，
在Rt△AEG中，AE=2x，而GE=5，
∴4x²=x²+25，得x²=

25

3

．
在Rt△ABG中，
∵AB²=BG²+AG²=1+

25

3

，
∴AB=

2 21

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，結(jié)合了平行線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形，直角三角形的性質(zhì)，是一道具有一定綜合性的好題．