Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A（-2，0）．
（1）求拋物線的解析式及它的對(duì)稱軸方程；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；
（3）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由；
（4）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形？若不存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=求出對(duì)稱軸方程；
（2）在拋物線解析式中，令x=0，可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；令y=0，可求出點(diǎn)B坐標(biāo)．再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；
（3）根據(jù)，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；
（4）本問為存在型問題．若△ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計(jì)算，避免漏解．
解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+4的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），
∴-×（-2）²+b×（-2）+4=0，
解得：b=，
∴拋物線解析式為 y=-x²+x+4，
又∵y=-x²+x+4=-（x-3）²+，
∴對(duì)稱軸方程為：x=3．

（2）在y=-x²+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；
令y=0，即-x²+x+4=0，整理得x²-6x-16=0，解得：x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐標(biāo)分別代入解析式，得：
，
解得k=，b=4，
∴直線BC的解析式為：y=x+4．

（3）可判定△AOC∽△COB成立．
理由如下：在△AOC與△COB中，
∵OA=2，OC=4，OB=8，
∴，
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB．

（4）∵拋物線的對(duì)稱軸方程為：x=3，
可設(shè)點(diǎn)Q（3，t），則可求得：
AC===，
AQ==，
CQ==．
i）當(dāng)AQ=CQ時(shí)，
有=，
25+t²=t²-8t+16+9，
解得t=0，
∴Q₁（3，0）；
ii）當(dāng)AC=AQ時(shí)，
有=，
t²=-5，此方程無實(shí)數(shù)根，
∴此時(shí)△ACQ不能構(gòu)成等腰三角形；
iii）當(dāng)AC=CQ時(shí)，
有=，
整理得：t²-8t+5=0，
解得：t=4±，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為：Q₂（3，4+），Q₃（3，4-）．
綜上所述，存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q₁（3，0），Q₂（3，4+），Q₃（3，4-）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．難點(diǎn)在于第（4）問，符合條件的等腰三角形△ACQ可能有多種情形，需要分類討論．