Question

【題目】已知：如圖，反比例函數y=的圖象上的一點A（m，n）在第一象限內，點B在x軸的正半軸上，且AB=AO，過點B作BC⊥x軸，與線段OA的延長線相交于點C，與反比例函數的圖象相交于點D．

（1）用含m的代數式表示點D的坐標；

（2）求證：CD=3BD；

（3）聯(lián)結AD、OD，試求△ABD的面積與△AOD的面積的比值．

Answer 1

【答案】（1）D（2m，）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）先用m表示點A的坐標，進而利用等腰三角形的性質得出點B的坐標，即可得出結論；

（2）先確定出直線OA的解析式，即可得出點C的坐標，求出CD，BD即可得出結論；

（3）先判斷出S△ACD=3S△ABD，再判斷出S△AOD=S△ACD，即可得出結論．

（1）如圖，

∵點A（m，n）在反比例函數y=的圖象上，

∴n=，

∴A（m，），

過點A作AH⊥x軸于H，

∴H（m，0），

∵AB=OA，

∴OB=2OH，

∴B（2m，0），

∵BD⊥x軸于D，

∴點D的橫坐標為2m，

∵點D在反比例函數y=的圖象上，

∴D（2m，）；

（2）設直線AO的解析式為y=kx，

∵點A（m，），

∴，

∴k=，

∴直線AO的解析式為y=x，

∵點C在直線AO上，且橫坐標為2m，

∴C（2m，），

∴CD=，

∵BD=，

∴CD=3BD；

（3）由（2）知，CD=3BD，

∴S△ACD=3S△ABD，

∵AB=AO，

∴∠AOB=∠ABO，

∵∠CBO=90°，

∴∠AOB+∠C=90°，∠ABO+∠ABC=90°，

∴∠C=∠ABC，

∴AB=AC，

∴AC=AO，

∴S△AOD=S△ACD，

∴S△AOD=3S△ABD，

∴．