Question

（1）求方程15x+52y=6的所有整數(shù)解．
（2）求方程x+y=x²-xy+y²的整數(shù)解．
（3）求方程

1

x

+

1

y

+

1

z

=

5

6

的正整數(shù)解．

Answer 1

分析：對(duì)于（1）通過觀察或輾轉(zhuǎn)相除法，先求出特解．對(duì)于（2）易想到完全平方公式，從配方人手，對(duì)于（3）易知x、y、z都大于1，不妨設(shè)l＜x≤y≤z，則

1

x

≥

1

y

≥

1

z

，將復(fù)雜的三元不定方程轉(zhuǎn)化為一元不等式，通過解不等式對(duì)某個(gè)未知數(shù)的取值作出估計(jì)，逐步縮小其取值范圍，求出其結(jié)果．

解答：解：（1）觀察易得一個(gè)特解x=42，y=-12，原方程所有整數(shù)解為

x=42-52t y=-12+15t

（t為整數(shù)）．

（2）原方程化為（x-y）²+（x-1）²+（y-1） ²=2，由此得方程的解為（0，0），（2，2），（1，0），（0，1），（2，1），（1，2）．

（3）∵

1

x

＜

1

x

+

1

y

+

1

z

≤

3

x

，即

1

x

＜

5

6

≤

3

x

，由此得x=2或x=3，當(dāng)x=2時(shí)，

1

x

＜

1

y

+

1

z

=

5

6

-

1

2

=

1

3

≤

2

y

，
即

1

y

＜

1

3

≤

2

y

，由此得y=4，或5或6，同理當(dāng)x=3時(shí)，y=3或4，由此可得1≤x≤y≤z時(shí)，（x，y，z）共有（2，4，12），（2，6，6），（3，3，6），（3，4，4）4組，由于x，y，z在方程中地位平等，可得原方程的解共有15組：（2，4，12），（2，12，4），（4，2，12），（4，12，2），（12，2，4），（12，4，2），（2，6，6），（6，2，6），（6，6，2），（3，3，6），（3，6，3），（6，3，3），（3，4，4），（4，4，3），（4，3，4）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了方程和不等式的相關(guān)性質(zhì)，尋求并縮小某個(gè)字母的取值范圍，通過驗(yàn)算獲得全部解答．