Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點F，在AB的延長線上有一點E，且EF=ED．

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半徑R=3，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：連結(jié)OD，如圖，

∵EF=ED，

∴∠EFD=∠EDF，

∵∠EFD=∠CFO，

∴∠CFO=∠EDF，

∵OC⊥OF，

∴∠OCF+∠CFO=90°，

而OC=OD，

∴∠OCF=∠ODF，

∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵OF：OB=1：3，

∴OF=1，BF=2，

設BE=x，則DE=EF=x+2，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO=∠BDE，

而∠ADO=∠A，

∴∠BDE=∠A，

而∠BED=∠DAE，

∴△EBD∽△EDA，

∴ = ，即 = ，

∴x=2，

∴BE=2．

【解析】（1）連結(jié)OD， 由等邊對等角及對頂角相等得出∠CFO=∠EDF，由垂直定義得出∠OCF+∠CFO=90°，再由等邊對等角得出∠OCF=∠ODF，進而得出∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，從而得出結(jié)論；（2）由OF：OB=1：3，得OF=1，BF=2，設BE=x，則DE=EF=x+2，進而判斷出△EBD∽△EDA，再由相似三角形對應邊成比例得出關(guān)于x的方程,求解即可。
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．