Question

【題目】如圖,拋物線y=(x1)2+n與x軸交于A,B兩點(A在B的左側),與y軸交于點C(0,3)，點D與C關于拋物線的對稱軸對稱.

(1)求拋物線的解析式及點D的坐標；

(2)點P是拋物線上的一點，當△ABP的面積是8，求出點P的坐標；

(3)過直線AD下方的拋物線上一點M作y軸的平行線，與直線AD交于點N，已知M點的橫坐標是m，試用含m的式子表示MN的長及△ADM的面積S，并求當MN的長最大時s的值.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=(x1)2-4，點D的坐標為（2，-3）；（2）P點的坐標為（1+2，4）或（1-2，4）或（1，-4）；（3）MN=（-1＜m＜2）；S=（-1＜m＜2），當MN最長為時，S的值為.

【解析】

（1）把C(0,3)代入y=(x1)2+n即可求解出n，得到拋物線解析式，再根據(jù)對稱軸得到點D的坐標；

（2）令y=0，解出A,B的坐標，得到AB的長，設P（x,y），根據(jù)△ABP的面積是8求出y的值，再代入解析式即可求出P點坐標；

（3）根據(jù)A、D坐標求出直線AD的解析式，根據(jù)MN∥y軸，可設M[m, (m1)2-4],N(m,-m-1)，根據(jù)MN=（-1＜m＜2），再根據(jù)二次函數(shù)最值即可求出MN的最大值，再求出此時的S.

（1）C(0,3)代入y=(x1)2+n

即-3=(01)2+n

解得n=-4，

∴拋物線的解析式為y=(x1)2-4，

∴拋物線的對稱軸為x=1,

∵點D與C關于拋物線的對稱軸對稱.

∴點D的坐標為（2，-3）；

（2）由y=(x1)2-4=0解得x1=-1,x2=3,

∵A在B的左側

∴A（-1,0），B（3,0）

∴AB=AO+BO=4，

設P（x,y），

∵S△ABP==8

∴=8

∴y=±4，

當(x1)2-4=4時，x1=1+2，x2=1-2，

∴P（1+2，4）或（1-2，4）

當(x1)2-4=-4時，x1=x2=1，

∴P（1，-4）

綜上，P點的坐標為（1+2，4）或（1-2，4）或（1，-4）；

（3）設AD的直線為y=kx+b，

把A（-1，0）、D(2,-3)代入得

解得

∴y=-x-1

∵MN∥y軸，且點M的橫坐標為m,

∴M[m, (m1)2-4],N(m,-m-1)，

∴MN=（-1＜m＜2）

化簡得MN=（-1＜m＜2）

當m=-=時，MN最大，最大值為=，

S△ADM= S△AMN+S△DMN==()=

當m=時，S△ADM==

故MN=（-1＜m＜2）；

S=（-1＜m＜2），

當MN最長時，S的值為.